Calcule, se possível, os seguintes limites:

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto-inftyl(tfracxx+1r)^x. O conteúdo envolvido são limites de tipo exponencial imprópria (1+algo)^algo, e vamos precisar usar logaritmo e expansão em série de Taylor para ln(1+u).

Passo 2

Reescrevemos a potência em forma de exponencial para transformar o produto em soma de logaritmos:
l(xx+1r)^x = expl(xlnl(tfracxx+1r)r)
Agora basta achar L=limxto-inftyxlnl(tfracxx+1r).

Passo 3

Simplificamos o logaritmo por tfracxx+1=1-tfrac1x+1:
lnl(xx+1r)=lnl(1-1x+1r)
Como xto-infty, o termo u=-1/(x+1) é pequeno, e usamos a expansão ln(1+u)=u-tfracu^22+o(u^2).

Passo 4

Aplicando u=-tfrac1x+1 na expansão:
xlnl(1-1x+1r)=xl(-1x+1-12(x+1)^2+ol(tfrac1x^2r)r)
Isso dá
-xx+1-x2(x+1)^2+ol(tfrac1xr)=-1+1x+1+o(1),
cujo limite quando xto-infty é -1.

Passo 5

Portanto o limite do expoente é -1 e
limxto-inftyl(xx+1r)^x=exp(-1)=1e
Assim chegamos ao resultado.

Resposta

1/e

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