Integre a função sobre a região dada.
f(x, y)=x^2+y^2 sobre a região triangular com vértices (1,1),(0,2) e (-1,0).

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos calcular a integral dupla de f(x,y)=x^2+y^2 sobre o triângulo com vértices em (1,1), (0,2) e (-1,0). O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas, e vamos precisar determinar as equações das arestas do triângulo e montar limites de integração adequados.

Passo 2

Descrever as arestas do triângulo: Entre (0,2) e (-1,0) temos y=2x+2; entre (1,1) e (-1,0) temos y=tfrac12x+tfrac12; entre (1,1) e (0,2) temos y=-x+2.

Passo 3

Determinar limites de integração em x: o triângulo vai de x=-1 até x=1. A reta do fundo (inferior) é sempre y=tfrac12x+tfrac12. Para a parte esquerda ( -1<= x<=0), o teto (superior) é y=2x+2. Para a parte direita ( 0<= x<=1), o teto é y=-x+2. Assim dividimos a integral em I1 de x=-1 a 0 e I2 de x=0 a 1.

Passo 4

Cálculo de I1=integralx=-1^0integraly=(x/2+1/2)^y=(2x+2)(x^2+y^2),dy,dx: primeiro fazemos a primitiva em y, obtendo x^2y+tfracy^33, e avaliamos de y=tfrac12x+tfrac12 até y=2x+2. Isso dá, após simplificação,
I1=integral-1^0l[tfrac32(x^3+x^2)+tfrac218(x+1)^3r]dx

Passo 5

Integramos termo a termo e obtemos a primitiva
F1(x)=tfrac38x^4+tfrac12x^3+tfrac2132(x+1)^4,
avaliada de -1 a 0. Isso resulta em
I1=F1(0)-F1(-1)=tfrac2132-l(-tfrac18r)=tfrac2532

Passo 6

Cálculo de I2=integralx=0^1integraly=(x/2+1/2)^y=(-x+2)(x^2+y^2),dy,dx: de novo a primitiva em y e avaliação nos limites dá, após simplificação,
I2=integral0^1l[-tfrac116x^3+tfrac72x^2-4x+tfrac83-tfrac124(x+1)^3r]dx

Passo 7

Integrando termo a termo e obtendo a primitiva
F2(x)=-tfrac1124x^4+tfrac76x^3-2x^2+tfrac83x-tfrac196(x+1)^4,
avaliada de 0 a 1
I2=F2(1)-F2(0)=tfrac2924-l(-tfrac196r)=tfrac3932

Passo 8

Somando as duas parcelas da região obtemos
integral duplaT(x^2+y^2)dA=I1+I2=tfrac2532+tfrac3932=2

Resposta

2

Exercícios relacionados