Integre a função sobre a região dada.
sobre a região triangular com vértices
e
.
Passo 1
Resumo do enunciado: Queremos calcular a integral dupla de
sobre o triângulo com vértices em
,
e
. O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas, e vamos precisar determinar as equações das arestas do triângulo e montar limites de integração adequados.
Passo 2
Descrever as arestas do triângulo: Entre
e
temos
; entre
e
temos
; entre
e
temos
.
Passo 3
Determinar limites de integração em
: o triângulo vai de
até
. A reta do fundo (inferior) é sempre
. Para a parte esquerda (
), o teto (superior) é
. Para a parte direita (
), o teto é
. Assim dividimos a integral em
de
a
e
de
a
.
Passo 4
Cálculo de
: primeiro fazemos a primitiva em
, obtendo
, e avaliamos de
até
. Isso dá, após simplificação,
Passo 5
Integramos termo a termo e obtemos a primitiva
avaliada de
Passo 6
Cálculo de
: de novo a primitiva em
e avaliação nos limites dá, após simplificação,
Passo 7
Integrando termo a termo e obtendo a primitiva
avaliada de
Passo 8
Somando as duas parcelas da região obtemos
Resposta
2