Calcule, se possível, os seguintes limites:

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite L=limxto-inftyl(1+tfrac3xr)^x. O conteúdo principal é limite de forma exponencial do tipo (1+tfracax)^x, e vamos precisar usar a ideia de tomar o logaritmo para transformar potência em produto e empregar a expansão de ln(1+u).

Passo 2

Vamos definir L=limxto-inftyl(1+tfrac3xr)^x e observar que a expressão é positiva para x suficientemente grande em módulo. Então podemos escrever
ln L=limxto-inftyx,lnl(1+tfrac3xr)

Passo 3

Para calcular limxto-inftyx,lnl(1+tfrac3xr), usamos a expansão em série de Taylor para ln(1+u) em torno de u=0:
ln(1+u)=u-tfracu^22+O(u^3)

Passo 4

Aqui u=3/x, logo
x,lnl(1+tfrac3xr)=xl(tfrac3x-tfrac12tfrac9x^2+O(tfrac1x^3)r)=3-tfrac92x+O(tfrac1x^2)

Passo 5

Quando xto-infty, o termo -tfrac92x+O(1/x^2) tende a zero, então
ln L=limxto-inftyl(3-tfrac92x+dotsr)=3

Passo 6

Por fim, exponenciando, obtemos L= e^ln L=e^3

Resposta

e^3

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