Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
integral0^2 integral0^4-x^2 x e^2 y4-y d y d x

Passo 1

Primeiro passo: resumindo o enunciado e o conteúdo. Precisamos esboçar a região definida por
0 <= x <= 2, 0 <= y <= 4 - x^2
e trocar a ordem de integração da integral
integral0^2 integral0^4 - x^2 x e^2y4 - y , dy , dx
O conteúdo principal aqui é mudança de ordem em integrais duplas.

Passo 2

Para esboçar a região, note que ela fica no primeiro quadrante, limitada abaixo por y=0, à direita por x=2, à esquerda por x=0 e acima pela parábola
y = 4 - x^2
Basta desenhar essa parábola entre x=0 e x=2 e preencher a área sob ela.

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, identificamos que y varia de 0 até seu valor máximo 4 (quando x=0). Para cada valor fixo de y, x deve satisfazer
0 <= y <= 4 - x^2 Longrightarrow x^2 <= 4 - y Longrightarrow 0 <= x <= raiz4 - y

Passo 4

Finalmente, montamos a integral com a ordem trocada. Primeiro integramos em x de 0 até raiz4 - y e depois em y de 0 até 4:

Resposta

integral0^4 integral0^raiz4 - y x e^2y4 - y , dx , dy

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