Calcule, se possível, os seguintes limites:
lim (x, y) (0,0) x sen(1x^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x, y) se aproxima de (0,0). Vamos usar conceitos de cálculo de limites em funções de várias variáveis e a regra do sanduíche (ou Teorema do Confronto) para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que temos:
lim (x, y) (0,0) x sin(1x^2+y^2)
Aqui, queremos ver o que acontece com essa expressão quando x e y estão chegando perto de zero ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos lembrar que a função seno, sin(theta), sempre está entre -1 e 1, ou seja:
-1 <= sin(1x^2+y^2) <= 1

Passo 4

Multiplicando todos os lados da desigualdade por x (que está se aproximando de 0), temos:
-x <= x sin(1x^2+y^2) <= x
Como x pode ser positivo ou negativo dependendo da direção de aproximação, vamos considerar o valor absoluto para simplificar:
|x sin(1x^2+y^2)| <= |x|

Passo 5

Agora, sabemos que |x| está se aproximando de 0 à medida que (x, y) (0,0). Então, utilizando o Teorema do Confronto, se a função está sempre entre -|x| e |x|, e ambos os limites desses limites são 0, então o limite da nossa função original também será 0.

Resposta

Portanto, o limite é igual a 0.
lim (x, y) (0,0) x sin(1x^2+y^2) = 0

Exercícios relacionados