Calcule, se possível, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando
se aproxima de
. Vamos usar conceitos de cálculo de limites em funções de várias variáveis e a regra do sanduíche (ou Teorema do Confronto) para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que temos:
Aqui, queremos ver o que acontece com essa expressão quando
e
estão chegando perto de zero ao mesmo tempo.
Passo 3
Vamos lembrar que a função seno,
, sempre está entre
e
, ou seja:
Passo 4
Multiplicando todos os lados da desigualdade por
(que está se aproximando de 0), temos:
Como
pode ser positivo ou negativo dependendo da direção de aproximação, vamos considerar o valor absoluto para simplificar:
Passo 5
Agora, sabemos que
está se aproximando de 0 à medida que
. Então, utilizando o Teorema do Confronto, se a função está sempre entre
e
, e ambos os limites desses limites são 0, então o limite da nossa função original também será 0.
Resposta
Portanto, o limite é igual a
.