Calcule a solução geral ou (particular quando indicado)das seguintes equações diferenciais:
y^prime=e^x+yx

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que o enunciado propôs:
y' = e^x + yx
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Linear de 1ª Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, que é uma técnica padrão para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para se encaixar na forma padrão das equações lineares, que é:
dydx + P(x) cdot y = Q(x)
No nosso caso, temos:
dydx - 1x cdot y = e^x
Aqui, $ P(x) = -\frac{1}{x} $ e $ Q(x) = e^{x} $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $, que é dado por:
mu(x)
Vamos calcular a integral de $ P(x) $:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Então,
P(x)

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) $:
mu(x)
Isso transforma a equação em uma forma onde o lado esquerdo é a derivada de $ \mu(x) \cdot y $:
1x cdot dydx - 1x^2 cdot y = e^xx

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
x
Do lado esquerdo, a integral da derivada simplesmente retorna $ \frac{y}{x} $:
integral ddx ( yx ) , dx = integral e^xx , dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

A integral $ \int \frac{e^{x}}{x} , dx $ não pode ser expressa em termos de funções elementares. Ela é conhecida como a Função Integral Exponencial, denotada por $ Ei(x) $. Portanto, podemos escrever:
integral e^xx , dx

Passo 7

Finalmente, isolamos $ y $ multiplicando ambos os lados por $ x $:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = x cdot Ei(x) + Cx
onde $ Ei(x) $ é a Função Integral Exponencial e $ C $ é a constante de integração.

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