Calcule a solução geral ou (particular quando indicado)das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que o enunciado propôs:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Linear de 1ª Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, que é uma técnica padrão para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para se encaixar na forma padrão das equações lineares, que é:
No nosso caso, temos:
Aqui, $ P(x) = -\frac{1}{x} $ e $ Q(x) = e^{x} $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $, que é dado por:
Vamos calcular a integral de $ P(x) $:
Então,
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) $:
Isso transforma a equação em uma forma onde o lado esquerdo é a derivada de $ \mu(x) \cdot y $:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
Do lado esquerdo, a integral da derivada simplesmente retorna $ \frac{y}{x} $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
A integral $ \int \frac{e^{x}}{x} , dx $ não pode ser expressa em termos de funções elementares. Ela é conhecida como a Função Integral Exponencial, denotada por $ Ei(x) $. Portanto, podemos escrever:
Passo 7
Finalmente, isolamos $ y $ multiplicando ambos os lados por $ x $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ Ei(x) $ é a Função Integral Exponencial e $ C $ é a constante de integração.