Considere a integral dupla
onde
é a regiāo do plano dada pelo conjunto dos pontos
tais que
e
.
Escreva a integral dupla em coordenadas polares.
Escreva a integral dupla em coordenadas polares.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede pra transformar uma integral dupla que está em coordenadas cartesianas para coordenadas polares. A integral é sobre a região D, que é o conjunto de pontos (x, y) onde
e
. Vamos precisar entender coordenadas polares e como converter a integral usando essas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, em vez de usar x e y, a gente usa o raio
e o ângulo
. As relações de conversão são:
Além disso, quando mudamos para coordenadas polares, o elemento de área
vira
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a região D. A condição
descreve um círculo com raio 2. E
significa que estamos considerando apenas a metade direita desse círculo. Em coordenadas polares,
vai de 0 até 2, e
vai de
até
para cobrir a parte onde
é positivo.
Passo 4
Com as relações de conversão, a função
em coordenadas cartesianas vira
em coordenadas polares.
Passo 5
Lembrando que o elemento de área se transforma, nossa integral dupla em coordenadas polares fica:
Resposta
A integral dupla em coordenadas polares é: