Considere a integral dupla
integralegral duplaD f(x, y) d x d y
onde D é a regiāo do plano dada pelo conjunto dos pontos (x, y) tais que x^2+y^2 <= 4 e x >= 0.
Escreva a integral dupla em coordenadas polares.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede pra transformar uma integral dupla que está em coordenadas cartesianas para coordenadas polares. A integral é sobre a região D, que é o conjunto de pontos (x, y) onde x^2 + y^2 <= 4 e x >= 0. Vamos precisar entender coordenadas polares e como converter a integral usando essas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, em vez de usar x e y, a gente usa o raio r e o ângulo theta. As relações de conversão são:
x = r cos theta y = r sin theta
Além disso, quando mudamos para coordenadas polares, o elemento de área dx , dy vira r , dr , dtheta.

Passo 3

Agora, vamos analisar a região D. A condição x^2 + y^2 <= 4 descreve um círculo com raio 2. E x >= 0 significa que estamos considerando apenas a metade direita desse círculo. Em coordenadas polares, r vai de 0 até 2, e theta vai de -pi2 até pi2 para cobrir a parte onde x é positivo.

Passo 4

Com as relações de conversão, a função f(x, y) em coordenadas cartesianas vira f(r cos theta, r sin theta) em coordenadas polares.

Passo 5

Lembrando que o elemento de área se transforma, nossa integral dupla em coordenadas polares fica:
integral duplaD f(x, y) , dx , dy = integraltheta=-pi2^pi2 integralr=0^2 f(r cos theta, r sin theta) cdot r , dr , dtheta

Resposta

A integral dupla em coordenadas polares é:
integraltheta=-pi2^pi2 integralr=0^2 f(r cos theta, r sin theta) cdot r , dr , dtheta

Exercícios relacionados