Calcule, se possível, os seguintes limites:
lim x -infty[raizx^2+@ x+1+x]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando $ x $ tende a menos infinito da expressão $ \sqrt{x^{2} + x + 1} + x $. Vamos usar conceitos de cálculo de limites e manipulação de expressões com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, observe que quando $ x $ tende a menos infinito, $ x^{2} $ é muito maior que $ x $ ou $ 1 $. Então, dentro da raiz, o termo dominante é $ x^{2} $. Isso nos ajuda a simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão dentro da raiz destacando $ x^{2} $:
x^2

Passo 4

Como $ x $ está tendendo a menos infinito, $ x $ é negativo, então $ |x| = -x $. Substituindo isso na expressão:
x

Passo 5

Agora, vamos aproximar a raiz para valores grandes de $ |x| $:
|x|
Isso simplifica nossa expressão para:
raiz1 + 1x + 1x^2 approx 1 + 12x - 18x^2

Passo 6

Distribuindo o $ -x $ na expressão:
-x
- x cdot 1 = -x
- x cdot 12x = -12
Então, nossa expressão fica:
- x cdot (-18x^2) = 18x

Passo 7

Agora, simplificamos os termos semelhantes:
- x + x = 0
-12 + 18x
Então, a expressão simplificada é:
- 12 + 18x

Passo 8

Finalmente, ao calcular o limite quando $ x $ tende a menos infinito:
x

Resposta

O limite é $ -\frac{1}{2} $.

Exercícios relacionados