Calcule, se possível, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando $ x $ tende a menos infinito da expressão $ \sqrt{x^{2} + x + 1} + x $. Vamos usar conceitos de cálculo de limites e manipulação de expressões com raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, observe que quando $ x $ tende a menos infinito, $ x^{2} $ é muito maior que $ x $ ou $ 1 $. Então, dentro da raiz, o termo dominante é $ x^{2} $. Isso nos ajuda a simplificar a expressão.
Passo 3
Vamos reescrever a expressão dentro da raiz destacando $ x^{2} $:
Passo 4
Como $ x $ está tendendo a menos infinito, $ x $ é negativo, então $ |x| = -x $. Substituindo isso na expressão:
Passo 5
Agora, vamos aproximar a raiz para valores grandes de $ |x| $:
Isso simplifica nossa expressão para:
Passo 6
Distribuindo o $ -x $ na expressão:
Então, nossa expressão fica:
Passo 7
Agora, simplificamos os termos semelhantes:
Então, a expressão simplificada é:
Passo 8
Finalmente, ao calcular o limite quando $ x $ tende a menos infinito:
Resposta
O limite é $ -\frac{1}{2} $.