Encontre o sup e inf em R dos conjuntos (ou seja considere-os como subconjuntos de R ):
A1=q in Q: q^2<2;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ínfimo e o supremo do conjunto A1=qinQ:q^2<2 visto como subconjunto de R. O conteúdo envolvido é o conceito de ínfimo e supremo de um conjunto em R, e vamos precisar usar a definição de limite superior (menor das cotas superiores) e limite inferior (maior das cotas inferiores), além do fato de que raiz2notinQ e da densidade dos racionais em R.

Passo 2

Note que q^2<2 implica -raiz2. Portanto podemos reescrever
A1=Qcap(-raiz2,,raiz2)
Isso mostra que todos os racionais estritamente entre -raiz2 e raiz2 pertencem a A1, e nenhum racional fora desse intervalo está em A1.

Passo 3

Para o supremo de A1, observamos que qualquer racional q com q^2<2 pertence a A1, então raiz2 é uma cota superior de A1. Se tentássemos uma cota u, pela densidade dos racionais existiria qinQ tal que u, e esse q satisfaria q^2<2, logo qin A1, contradizendo o fato de u ser cota superior. Logo o menor de todos os limites superiores é raiz2.

Passo 4

O raciocínio análogo para o ínfimo mostra que -raiz2 é a maior cota inferior: qualquer v> -raiz2 não seria cota inferior, pois há um racional q com -raiz2 e q^2<2, isto é, qin A1 fica abaixo de v. Assim o maior das cotas inferiores é -raiz2.

Resposta

inf A1=-raiz2,sup A1=raiz2

Exercícios relacionados