Encontre o sup e inf em
dos conjuntos (ou seja considere-os como subconjuntos de
):
;
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o ínfimo e o supremo do conjunto
visto como subconjunto de
. O conteúdo envolvido é o conceito de ínfimo e supremo de um conjunto em
, e vamos precisar usar a definição de limite superior (menor das cotas superiores) e limite inferior (maior das cotas inferiores), além do fato de que
e da densidade dos racionais em
.
Passo 2
Note que
implica
. Portanto podemos reescrever
Isso mostra que todos os racionais estritamente entre
Passo 3
Para o supremo de
, observamos que qualquer racional
com
pertence a
, então
é uma cota superior de
. Se tentássemos uma cota
, pela densidade dos racionais existiria
tal que
, e esse
satisfaria
, logo
, contradizendo o fato de
ser cota superior. Logo o menor de todos os limites superiores é
.
Passo 4
O raciocínio análogo para o ínfimo mostra que
é a maior cota inferior: qualquer
não seria cota inferior, pois há um racional
com
e
, isto é,
fica abaixo de
. Assim o maior das cotas inferiores é
.