Determine os seguintes limites, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
(1) lim x 0 ln (1+x)x
(2) lim x infty raizx+raizx-raizx-1
(3) lim x 0(cos (x))^1x.

Passo 1

Temos três limites para calcular:
  • limxto0 ln(1+x)x
  • limxtoinfty raizx+raizx - raizx-1
  • limxto0 (cos(x))^1x
O conteúdo envolve cálculo de limites e vamos usar séries de Taylor, técnicas de racionalização e propriedades de logaritmos e exponenciais.

Passo 2

Para o primeiro limite, usamos a expansão de Taylor de ln(1+x) em torno de x=0. Temos
ln(1+x)=x-x^22+o(x^2)
Dividindo por x:
ln(1+x)x=1-x2+o(x)
À medida que xto0, o termo -tfracx2+o(x) vai para zero, logo o limite vale 1.

Passo 3

No segundo limite surge a forma indeterminada infty-infty. Racionalizamos a diferença de radicais multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
raizx+raizx-raizx-1= (x+raizx)-(x-1)raizx+raizx+raizx-1= raizx+1raizx+raizx+raizx-1
Fatoramos raizx no numerador e denominador:
=raizxl(1+tfrac1raizxr)raizxl(raiz1+tfrac1raizx+raiz1-tfrac1xr)= 1+tfrac1raizxraiz1+tfrac1raizx+raiz1-tfrac1x
Quando xtoinfty, os termos dentro das raízes tendem a 1, ficando
1+01+1=12

Passo 4

Para o terceiro limite temos a forma indeterminada 1^infty. Definimos
L=limxto0(cos x)^tfrac1x
e estudamos ln L:
ln L=limxto0ln(cos x)x
Usando a expansão de Taylor de cos x e de seu logaritmo:
cos x=1-x^22+o(x^2)
ln(cos x)=-x^22+o(x^2)
Então
ln(cos x)x=-x2+o(x)
e esse quociente vai a zero quando xto0. Logo ln L=0 e L=e^0=1.

Resposta

(1) 1, (2) 1/2, (3) 1

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