Determine os seguintes limites, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
(1)
(2)
(3)
.
(1)
(2)
(3)
Passo 1
Temos três limites para calcular:
O conteúdo envolve cálculo de limites e vamos usar séries de Taylor, técnicas de racionalização e propriedades de logaritmos e exponenciais.
Passo 2
Para o primeiro limite, usamos a expansão de Taylor de
em torno de
. Temos
Dividindo por
:
À medida que
, o termo
vai para zero, logo o limite vale 1.
Passo 3
No segundo limite surge a forma indeterminada
. Racionalizamos a diferença de radicais multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
Fatoramos
no numerador e denominador:
Quando
, os termos dentro das raízes tendem a 1, ficando
Passo 4
Para o terceiro limite temos a forma indeterminada
. Definimos
e estudamos
:
Usando a expansão de Taylor de
e de seu logaritmo:
Então
e esse quociente vai a zero quando
. Logo
e
.
Resposta
(1) 1, (2) 1/2, (3) 1