Ache o valor da derivada direcional no ponto
para a função dada na direção e sentido de
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor da derivada direcional da função $ f(x, y) = x^{2} - 2xy^{2} $ no ponto $ P_{0}(-1, 2) $ na direção do vetor $ u = \left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right), \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de $ f $ na direção do vetor $ u $ é dada pela fórmula:
Onde $ \nabla f(P_{0}) $ é o gradiente de $ f $ no ponto $ P_{0} $ e $ \cdot $ representa o produto escalar entre vetores.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente $ \nabla f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e a $ y $:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 4
Calculando $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
E calculando $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
Então, o gradiente fica:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ P_{0}(-1, 2) $:
Passo 6
Em seguida, precisamos garantir que o vetor $ u $ seja um vetor unitário, ou seja, que tenha comprimento 1. Vamos verificar:
Então, $ u $ já é um vetor unitário.
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional usando o produto escalar entre $ \nabla f(-1, 2) $ e $ u $:
Simplificando:
Resposta
A derivada direcional de $ f $ no ponto $ P_{0}(-1, 2) $ na direção de $ u $ é $ -\sqrt{2} $.