Ache o valor da derivada direcional no ponto P0 para a função dada na direção e sentido de u.
f(x, y)=x^2-2 x y^2 ; u=(cos (pi4), sen(pi4)), P0(-1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor da derivada direcional da função $ f(x, y) = x^{2} - 2xy^{2} $ no ponto $ P_{0}(-1, 2) $ na direção do vetor $ u = \left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right), \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de $ f $ na direção do vetor $ u $ é dada pela fórmula:
f
Onde $ \nabla f(P_{0}) $ é o gradiente de $ f $ no ponto $ P_{0} $ e $ \cdot $ representa o produto escalar entre vetores.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente $ \nabla f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e a $ y $:
nabla f(x, y)
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 4

Calculando $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
partial fpartial x
E calculando $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
partial fpartial x = 2x - 2y^2
Então, o gradiente fica:
partial fpartial y

Passo 5

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ P_{0}(-1, 2) $:
P0(-1, 2)

Passo 6

Em seguida, precisamos garantir que o vetor $ u $ seja um vetor unitário, ou seja, que tenha comprimento 1. Vamos verificar:
u
Então, $ u $ já é um vetor unitário.

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional usando o produto escalar entre $ \nabla f(-1, 2) $ e $ u $:
nabla f(-1, 2)
Simplificando:
u

Resposta

A derivada direcional de $ f $ no ponto $ P_{0}(-1, 2) $ na direção de $ u $ é $ -\sqrt{2} $.

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