1. Usando a regra da cadeia, encontre as derivadas parciais de
    (a) f(x, y)=x+yx^2+y^2+1
    (b) f(x, y)=ln raiz[3](x^2+y^2)+(2 x+y^2 x^2)

Passo 1

A questão pede para calcular as derivadas parciais de duas funções de duas variáveis usando regra da cadeia (e, no caso da primeira, também regra do quociente). Vamos precisar identificar funções internas, aplicar as regras apropriadas (quociente ou cadeia) e simplificar.

Passo 2

Para a parte (a), observe que
Temos
f(x,y)=x+yx^2+y^2+1= u(x,y)v(x,y),
onde definimos
u(x,y)=x+y, v(x,y)=x^2+y^2+1
Como é um quociente, usamos a regra:
partialpartial αl(uvr)= uα,v - u,vαv^2
em aplicamos para α = x e α = y.

Passo 3

Agora computamos as derivadas parciais de u e v:
partial upartial x=1, partial upartial y=1, partial vpartial x=2x, partial vpartial y=2y

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
Para x:
partial fpartial x= 1cdot(x^2+y^2+1)-(x+y)cdot2x(x^2+y^2+1)^2 =x^2+y^2+1-2x^2-2xy(x^2+y^2+1)^2 =-x^2-2xy+y^2+1(x^2+y^2+1)^2
Para y:
partial fpartial y= 1cdot(x^2+y^2+1)-(x+y)cdot2y(x^2+y^2+1)^2 =x^2+y^2+1-2xy-2y^2(x^2+y^2+1)^2 =x^2-2xy-y^2+1(x^2+y^2+1)^2

Passo 5

Para a parte (b), comece reescrevendo:
f(x,y)=lnraiz[3](x^2+y^2)+(2x+y^2x^2) =lnl(w(x,y)^1/3r) =tfrac13ln w(x,y),
onde
w(x,y)=x^2+y^2+2x+y^2x^2
Aqui usamos a regra da cadeia: se f=\tfrac13\ln w, então
partial fpartial α=13cdot1wcdotpartial wpartial α

Passo 6

Agora derivamos w em relação a x e y:
partial wpartial x=2x+2+2xy^2, partial wpartial y=2y+2x^2y

Passo 7

Finalmente, aplicando a cadeia:
partial fpartial x=13cdot1w(2x+2+2xy^2) =2x+2+2xy^23,(x^2+y^2+2x+y^2x^2),
partial fpartial y=13cdot1w(2y+2x^2y) =2y+2x^2y3,(x^2+y^2+2x+y^2x^2)

Resposta

(a)
(b)

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