- Usando a regra da cadeia, encontre as derivadas parciais de
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
A questão pede para calcular as derivadas parciais de duas funções de duas variáveis usando regra da cadeia (e, no caso da primeira, também regra do quociente). Vamos precisar identificar funções internas, aplicar as regras apropriadas (quociente ou cadeia) e simplificar.
Passo 2
Para a parte (a), observe que
Temos
Temos
onde definimos
Como é um quociente, usamos a regra:
em aplicamos para α = x e α = y.
Passo 3
Agora computamos as derivadas parciais de u e v:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Para x:
Para x:
Para y:
Passo 5
Para a parte (b), comece reescrevendo:
onde
Aqui usamos a regra da cadeia: se f=\tfrac13\ln w, então
Passo 6
Agora derivamos w em relação a x e y:
Passo 7
Finalmente, aplicando a cadeia:
Resposta
(a)
(b)