Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta: lim (x, y) (3,0) (x-3)^5 y^2+(x-3)^4 y^4(x^2-6 x+9+y^6)^3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis em
(x,y)to(3,0). O conteúdo envolvido é limite em várias variáveis e teste de existência por diferentes caminhos. Vamos precisar reescrever a expressão, fatorar termos e avaliar a função em trajetórias distintas para ver se o valor é único.

Passo 2

Primeiro, note que
x^2 -6x +9 = (x-3)^2
Logo, o denominador fica
l((x-3)^2 + y^6r)^3
E o numerador
(x-3)^5 y^2 + (x-3)^4 y^4 = (x-3)^4 y^2igl((x-3) + y^2r) 
Assim, a função é
f(x,y)=(x-3)^4 y^2l((x-3)+y^2r)l((x-3)^2+y^6r)^3

Passo 3

Avaliação pelo caminho y=0: substituindo em f(x,y) temos
f(x,0)=(x-3)^4cdot0^2l((x-3)+0^2r)l((x-3)^2+0^6r)^3=0
Logo, por esse caminho o limite é 0.

Passo 4

Avaliação pelo caminho x-3=y^2: seja u=x-3=y^2. Então
[
f=\frac{u^4 y2(u+y2)}{(u2+y6)^3}
=\frac{(y2)4 y2(y2+y2)}{\bigl((y2)2+y6\bigr)^3}
=\frac{y^8\cdot y2\cdot2y2}{(y4+y6)^3}
=\frac{2y{12}}{y{12}(1+y2)3}
=\frac{2}{(1+y2)3}\to2
\quad(quandoy\to0).

Passo 5

Como pelos dois caminhos obtemos valores diferentes ( 0 e 2), o limite não é o mesmo em todas as direções. Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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