Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis em
. O conteúdo envolvido é limite em várias variáveis e teste de existência por diferentes caminhos. Vamos precisar reescrever a expressão, fatorar termos e avaliar a função em trajetórias distintas para ver se o valor é único.
Passo 2
Primeiro, note que
Logo, o denominador fica
E o numerador
Assim, a função é
Passo 3
Avaliação pelo caminho
: substituindo em
temos
Logo, por esse caminho o limite é
.
Passo 4
Avaliação pelo caminho
: seja
. Então
[
f=\frac{u^4 y2(u+y2)}{(u2+y6)^3}
=\frac{(y2)4 y2(y2+y2)}{\bigl((y2)2+y6\bigr)^3}
=\frac{y^8\cdot y2\cdot2y2}{(y4+y6)^3}
=\frac{2y{12}}{y{12}(1+y2)3}
=\frac{2}{(1+y2)3}\to2
\quad(quandoy\to0).
f=\frac{u^4 y2(u+y2)}{(u2+y6)^3}
=\frac{(y2)4 y2(y2+y2)}{\bigl((y2)2+y6\bigr)^3}
=\frac{y^8\cdot y2\cdot2y2}{(y4+y6)^3}
=\frac{2y{12}}{y{12}(1+y2)3}
=\frac{2}{(1+y2)3}\to2
\quad(quandoy\to0).
Passo 5
Como pelos dois caminhos obtemos valores diferentes (
e
), o limite não é o mesmo em todas as direções. Portanto, o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.