Determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçado de frequência
:
onde
. Vamos usar o método da soma da solução homogênea com uma solução particular.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução homogênea associada à equação sem o termo
. A equação homogênea é
A equação característica é
, cujas raízes são
. Logo,
onde
e
são constantes de integração.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para lidar com o forçamento
. Como
, não há ressonância, e podemos tentar o ansatz:
Derivando,
Substituindo na equação original,
Agrupando termos em
e
, obtemos o sistema
Daí
Logo,
Passo 4
A solução geral é a soma da parte homogênea com a particular. Portanto,
Resposta
u(t) = C_1,\cos(\omega_0 t) + C_2,\sin(\omega_0 t) + \dfrac{\cos(\omega t)}{\omega_0^2 - \omega^2}