Determine a solução geral de
u^z+omega0^2 u=cos omega t, omega^2 neq w0^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçado de frequência omega:
u''(t) + omega0^2,u(t) = cos(omega t),
onde omega^2 neq omega0^2. Vamos usar o método da soma da solução homogênea com uma solução particular.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução homogênea associada à equação sem o termo cos(omega t). A equação homogênea é
u''h + omega0^2,uh = 0
A equação característica é r^2 + omega0^2 = 0, cujas raízes são r = pm i,omega0. Logo,
uh(t) = C1,cos(omega0 t) + C2,sin(omega0 t),
onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular up(t) para lidar com o forçamento cos(omega t). Como omega neq omega0, não há ressonância, e podemos tentar o ansatz:
up(t) = A,cos(omega t) + B,sin(omega t)
Derivando,
up'(t) = -A,omega,sin(omega t) + B,omega,cos(omega t),
up''(t) = -A,omega^2,cos(omega t) - B,omega^2,sin(omega t)
Substituindo na equação original,
(-A,omega^2,cosomega t - B,omega^2,sinomega t) + omega0^2(A,cosomega t + B,sinomega t) = cosomega t
Agrupando termos em cosomega t e sinomega t, obtemos o sistema
(omega0^2 - omega^2)A = 1, (omega0^2 - omega^2)B = 0
Daí
A = 1omega0^2 - omega^2, B = 0
Logo,
up(t) = cos(omega t)omega0^2 - omega^2

Passo 4

A solução geral é a soma da parte homogênea com a particular. Portanto,
u(t) = C1,cos(omega0 t) + C2,sin(omega0 t) + cos(omega t)omega0^2 - omega^2

Resposta

u(t) = C_1,\cos(\omega_0 t) + C_2,\sin(\omega_0 t) + \dfrac{\cos(\omega t)}{\omega_0^2 - \omega^2}

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