Em cada item verifique se a função
é contínua, justificando sua resposta:
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a continuidade da função de duas variáveis
ou seja, queremos ver onde vale
O conteúdo usado será definição de limite e continuidade em
Passo 2
Para
a expressão
não é zero numa vizinhança de
. Como soma, produto e quociente (quando o denominador é não nulo) são operações contínuas, o quociente
é contínuo em qualquer ponto
Passo 3
Para
aplicamos teste por caminhos. Se a função fosse contínua em
, teríamos
Escolhendo a reta
$$
f(x,-x)=\frac{x+(-x)}{x2+(-x)2}=0,
f(x,x)=\frac{x+x}{x2+x2}=\frac{2x}{2x^2}=\frac1x,$$
que não tem limite finito quando . Assim o limite de
quando
não existe ou não é zero, isto é, não coincide com
. Portanto,
é descontínua em
.
que não tem limite finito quando
Resposta
A função é contínua em todos os pontos
e descontínua em
.