Em cada item verifique se a função f é contínua, justificando sua resposta: f(x, y)=cx+yx^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0).

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade da função de duas variáveis
f(x,y)=x+yx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),0,&(x,y)=(0,0)
ou seja, queremos ver onde vale
lim(x,y)to(a,b)f(x,y)=f(a,b)
O conteúdo usado será definição de limite e continuidade em R^2, além de propriedades de funções racionais.

Passo 2

Para (a,b)neq(0,0) a expressão x^2+y^2 não é zero numa vizinhança de (a,b). Como soma, produto e quociente (quando o denominador é não nulo) são operações contínuas, o quociente
f(x,y)=x+yx^2+y^2
é contínuo em qualquer ponto (a,b) com (a,b)neq(0,0).

Passo 3

Para (0,0) aplicamos teste por caminhos. Se a função fosse contínua em (0,0), teríamos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Escolhendo a reta y=-x, temos
$$
f(x,-x)=\frac{x+(-x)}{x2+(-x)2}=0, f(x,-x)=x+(-x)x^2+(-x)^2=0,é
f(x,x)=\frac{x+x}{x2+x2}=\frac{2x}{2x^2}=\frac1x,$$
que não tem limite finito quando 0. Assim o limite de y=x quando f(x,x)=x+xx^2+x^2=2x2x^2=1x, não existe ou não é zero, isto é, não coincide com xto0. Portanto, f(x,y) é descontínua em (x,y)to(0,0).

Resposta

A função é contínua em todos os pontos (x,y)neq(0,0) e descontínua em (0,0).

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