Considere a função f(x, y)=4-x^2-4 y^2. Prove, usando a definição de limite, que lim (x, y) (0,0) f(x, y)=4.

Passo 1

Vamos mostrar que lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=4, onde f(x,y)=4 - x^2 - 4y^2. O conteúdo é limite de funções de duas variáveis e vamos usar a definição varepsilon- de.

Passo 2

Relembrando a definição: dizemos que lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=4 se, para todo varepsilon>0, existe de0 tal que, sempre que raizx^2+y^2, então |f(x,y)-4|.

Passo 3

Calculamos a diferença em módulo:
|f(x,y)-4| = |4 - x^2 - 4y^2 - 4| = | -x^2 - 4y^2| = x^2 + 4y^2

Passo 4

Agora ligamos x^2+4y^2 à distância r=raizx^2+y^2. Observando que x^2<= r^2 e y^2<= r^2, temos
x^2 + 4y^2 <= r^2 + 4r^2 = 5r^2 = 5(x^2+y^2)

Passo 5

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|f(x,y)-4| <= 5(x^2+y^2) = 5,r^2

Passo 6

Para satisfazer |f(x,y)-4|, basta garantir
5,r^2 < varepsilon Long<=ftrightarrow r < raizvarepsilon5

Passo 7

Assim, escolhendo
de temos que sempre que raizx^2+y^2, então
|f(x,y)-4| <= 5,(raizx^2+y^2)^2 = 5,de o que completa a prova pelo critério varepsilon- de.

Resposta

lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=4

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