1. Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta.
    (a) lim (x, y) (0,0) x^2-y^2x^2+y^2
    (b) lim (x, y) (3,0) (x-3)^5 y^2+(x-3)^4 y^4(x^2-6 x+9+y^6)^3
    © lim (x, y) (0,5) x^3(y-5)^22 x^7+3(y-5)^4
    (d) lim (x, y, z) (0,0,0) x^2 y^2 z^2x^6+y^6+z^6

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular quatro limites de funções de várias variáveis. O tema é limite de funções de duas e três variáveis e vamos usar principalmente a ideia de testar caminhos diferentes (retas ou curvas) para verificar se o valor do limite é único ou depende do caminho.

Passo 2

Para o item (a), considere o caminho em que y=m
x. Substituindo em x^2-(m x)^2x^2+(m x)^2=1-m^21+m^2, temos $\frac{x^{2}-(m x){2}}{x{2}+(m x){2}}=\frac{1-m{2}}{1+m^{2}}\$. Como esse valor depende de m, o limite não é único e, portanto, não existe.

Passo 3

Para o item (b), faça a mudança u=x-3 e v=y, assim o ponto (3,0) vai para (0,0) e a expressão vira $\frac{u{5}v{2}+u{4}v{4}}{(u{2}+v{6})^{3}}\$. No caminho v=0 o quociente vale 0; em v^{2}=u (isto é, v=√u) a expressão tende a 2. Como temos duas trajetórias com limites diferentes, o limite não existe.

Passo 4

No item ©, defina u=x e v=y-5 para deslocar o ponto (0,5) para a origem. A função fica $\frac{u{3}v{2}}{2u{7}+3v{4}}\$. Se v=0, o valor é 0; se v=u^{2}, o quociente tende a 1/2. Como há dois caminhos com resultados distintos, o limite não existe.

Passo 5

No item (d), analisamos $\frac{x{2}y{2}z{2}}{x{6}+y{6}+z{6}}\$. No caminho (x,y,z)=(t,0,0) o valor é 0; em (t,t,t) dá x^2y^2z^2x^6+y^6+z^6. Como surgem valores diferentes, o limite não existe.

Resposta

a) não existe; b) não existe; c) não existe; d) não existe.

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