(5,0) Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=1^infty x^n2 n+1
Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumn=1^infty x^n2n+1. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e o teste da razão para determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. O raio de convergência de uma série de potências como sum an x^n indica até que valor de x a série converge. Para encontrá-lo, usamos o teste da razão, que analisa o limite limn to infty | an+1an |.

Passo 3

Vamos identificar an na nossa série. Aqui, an = 12n+1. Agora, aplicamos o teste da razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | 12(n+1)+112n+1 | = limn to infty 2n+12n+3

Passo 4

Calculando o limite:
L = limn to infty 2n+12n+3 = limn to infty 2 + 1n2 + 3n = 22 = 1

Passo 5

Segundo o teste da razão, a série converge quando L |x| < 1. Substituindo L = 1:
1 cdot |x| < 1 implies |x| < 1
Então, o raio de convergência R é 1.

Passo 6

Agora que sabemos que R = 1, o intervalo de convergência está inicialmente entre -1 e 1. Precisamos verificar os extremos x = -1 e x = 1 para confirmar se a série converge nesses pontos.

Passo 7

Vamos verificar x = 1:
sumn=1^infty 1^n2n+1 = sumn=1^infty 12n+1
Essa é uma série harmônica modificada, que é divergente.

Passo 8

Agora, vamos verificar x = -1:
sumn=1^infty (-1)^n2n+1
Essa é uma série alternada onde os termos 12n+1 diminuem e tendem a zero. Pelo teste da série alternada, a série converge.

Resposta

O raio de convergência da série é R = 1 e o intervalo de convergência é [-1, 1).

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