(5,0) Encontre a série de Maclaurin da função f(x)=ln (1+x) e o raio de convergencia associado. Para finalizar, mostre que a série obtida representa a função f no raio de convergencia.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Maclaurin da função $ f(x) = \ln(1+x) $ e descobrir o raio de convergência dessa série. Além disso, precisamos mostrar que a série que obtivermos realmente representa a função $ f $ dentro desse raio de convergência. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a série de Maclaurin. É uma série de potências centrada em $ x = 0 $ que representa uma função. A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função $ f(x) $ é:
x = 0
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de $ f(x) $ avaliadas em 0.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \ln(1+x) $:
  1. Primeira derivada:
f(x) = ln(1+x)
Avaliada em 0:
f'(x) = 11+x
  1. Segunda derivada:
f'(0) = 1
Avaliada em 0:
f''(x) = -1(1+x)^2
  1. Terceira derivada:
f''(0) = -1
Avaliada em 0:
f'''(x) = 2(1+x)^3
E assim por diante. Observamos que as derivadas seguem um padrão.

Passo 4

Observando o padrão das derivadas, podemos generalizar a $ n $-ésima derivada:
n
Avaliada em 0:
f^(n)(x) = (-1)^n-1 (n-1)!(1+x)^n

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Maclaurin:
f(x) = sumn=1^infty f^(n)(0)n! x^n = sumn=1^infty (-1)^n-1 (n-1)!n! x^n
Simplificando a fração $ \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n} $:
(n-1)!n! = 1n

Passo 6

Então, a série de Maclaurin para $ \ln(1+x) $ é:
ln(1+x)

Passo 7

Agora, vamos encontrar o raio de convergência dessa série. Usamos o Teste da Razão, que é ótimo para séries de potências. A regra é:
limn to infty | an+1an | = L
Se $ L < 1 $, a série converge.
Para nossa série $ a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n $:
L < 1
Tomando o valor absoluto:
an = (-1)^n-1n x^n
Tomando o limite quando $ n \to \infty $:
an+1an = (-1)^n x^n+1/(n+1)(-1)^n-1 x^n /n = -nn+1 x
Para convergência, $ |x| < 1 $. Portanto, o raio de convergência é 1.

Passo 8

Por último, precisamos mostrar que a série representa a função $ f(x) = \ln(1+x) $ dentro do raio de convergência. Isso significa que para $ |x| < 1 $, a série realmente se iguala à função.
Sabemos que a derivada da série termo a termo corresponde à derivada da função, e ambas as séries têm o mesmo valor inicial. Além disso, o intervalo de convergência $ |x| < 1 $ garante que a série soma valores que aproximam $ \ln(1+x) $. Portanto, dentro desse intervalo, a série de Maclaurin que encontramos representa exatamente a função $ f(x) $.

Resposta

A série de Maclaurin de $ f(x) = \ln(1+x) $ é:
f(x) = ln(1+x)
O raio de convergência dessa série é 1, e dentro desse intervalo $ |x| < 1 $, a série representa exatamente a função $ f(x) $.

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