Encontre a série de Maclaurin da função
e o raio de convergencia associado. Para finalizar, mostre que a série obtida representa a função
no raio de convergencia.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Maclaurin da função $ f(x) = \ln(1+x) $ e descobrir o raio de convergência dessa série. Além disso, precisamos mostrar que a série que obtivermos realmente representa a função $ f $ dentro desse raio de convergência. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a série de Maclaurin. É uma série de potências centrada em $ x = 0 $ que representa uma função. A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função $ f(x) $ é:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de $ f(x) $ avaliadas em 0.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \ln(1+x) $:
- Primeira derivada:
Avaliada em 0:
- Segunda derivada:
Avaliada em 0:
- Terceira derivada:
Avaliada em 0:
E assim por diante. Observamos que as derivadas seguem um padrão.
Passo 4
Observando o padrão das derivadas, podemos generalizar a $ n $-ésima derivada:
Avaliada em 0:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Maclaurin:
Simplificando a fração $ \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n} $:
Passo 6
Então, a série de Maclaurin para $ \ln(1+x) $ é:
Passo 7
Agora, vamos encontrar o raio de convergência dessa série. Usamos o Teste da Razão, que é ótimo para séries de potências. A regra é:
Se $ L < 1 $, a série converge.
Para nossa série $ a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n $:
Tomando o valor absoluto:
Tomando o limite quando $ n \to \infty $:
Para convergência, $ |x| < 1 $. Portanto, o raio de convergência é 1.
Passo 8
Por último, precisamos mostrar que a série representa a função $ f(x) = \ln(1+x) $ dentro do raio de convergência. Isso significa que para $ |x| < 1 $, a série realmente se iguala à função.
Sabemos que a derivada da série termo a termo corresponde à derivada da função, e ambas as séries têm o mesmo valor inicial. Além disso, o intervalo de convergência $ |x| < 1 $ garante que a série soma valores que aproximam $ \ln(1+x) $. Portanto, dentro desse intervalo, a série de Maclaurin que encontramos representa exatamente a função $ f(x) $.
Resposta
A série de Maclaurin de $ f(x) = \ln(1+x) $ é:
O raio de convergência dessa série é 1, e dentro desse intervalo $ |x| < 1 $, a série representa exatamente a função $ f(x) $.