Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta:
.
Passo 1
O exercício pede para calcular o limite em três variáveis $ (x,y,z) \to (0,0,0) $ da função
. O conteúdo envolve noções de limite em várias variáveis e a ideia de testar diferentes trajetórias para verificar existência ou não do limite. Para terminar, lembramos um fato importante de limites em várias variáveis: se o limite existe, seu valor tem que ser o mesmo em qualquer caminho de aproximação. Então vamos testar dois caminhos distintos.
Passo 2
Escolhendo a trajetória
, substituímos na função e obtemos
Esse resultado mostra que ao aproximar pela superfície
Passo 3
Agora escolhemos a trajetória
. Substituindo na função vem
Vemos que desse outro caminho o valor do limite é
Passo 4
Como os valores obtidos (
e
) são diferentes, concluímos que o limite não existe, pois ele seria único se existisse.
Resposta
O limite não existe.