Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta: lim (x, y, z) (0,0,0) x^2 y^2 z^2x^6+y^6+z^6.

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite em três variáveis $ (x,y,z) \to (0,0,0) $ da função (x,y,z) to (0,0,0) . O conteúdo envolve noções de limite em várias variáveis e a ideia de testar diferentes trajetórias para verificar existência ou não do limite. Para terminar, lembramos um fato importante de limites em várias variáveis: se o limite existe, seu valor tem que ser o mesmo em qualquer caminho de aproximação. Então vamos testar dois caminhos distintos.

Passo 2

Escolhendo a trajetória z=0, substituímos na função e obtemos
x^2y^2cdot0^2x^6+y^6+0^6=0
Esse resultado mostra que ao aproximar pela superfície z=0 o valor de f(x,y,z) tende a 0.

Passo 3

Agora escolhemos a trajetória x=y=z=t. Substituindo na função vem
t^2,t^2,t^2t^6+t^6+t^6=t^63t^6=13
Vemos que desse outro caminho o valor do limite é 1/3.

Passo 4

Como os valores obtidos ( 0 e 1/3) são diferentes, concluímos que o limite não existe, pois ele seria único se existisse.

Resposta

O limite não existe.

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