Use as propriedades de limite para determinar o valor de lim (x, y) (4,4) g(x, y), sendo
lim (x, y) (4,4)[(x-y) g(x, y)x^2-y^2+cos (x-y)]=12

Passo 1

O exercício quer o valor de lim(x,y)to(4,4)g(x,y) sabendo que lim(x,y)to(4,4)l[(x-y)g(x,y)x^2-y^2+cos(x-y)r]=tfrac12. O conteúdo envolve propriedades de limite em funções de duas variáveis, fatoração algébrica e continuidade de cos.

Passo 2

Para xneq y podemos fatorar x^2-y^2=(x-y)(x+y), então a expressão dentro do limite vira
(x-y)g(x,y)x^2-y^2+cos(x-y)=(x-y)g(x,y)(x-y)(x+y)+cos(x-y)=g(x,y)x+y+cos(x-y)

Passo 3

Como (x,y)to(4,4) temos x+yto8 e x-yto0. Usando a soma de limites e a continuidade de cos,
lim(x,y)to(4,4)g(x,y)x+y=L8,lim(x,y)to(4,4)cos(x-y)=cos0=1,
onde definimos L=lim(x,y)to(4,4)g(x,y). Logo
L8+1=12

Passo 4

Resolvendo para L L/8=tfrac12-1=-tfrac12, ou seja L=-4.

Resposta

-4

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