Seja w=(x^2+y^2+z^2)^k. Determine para quais valores de k a igualdade partial^2 wpartial x^2+partial^2 wpartial y^2+partial^2 wpartial z^2=0 é satisfeita.

Passo 1

O enunciado dá a função w=(x^2+y^2+z^2)^k e pede os valores de k tais que o Laplaciano de w, isto é partial^2wpartial x^2+partial^2wpartial y^2+partial^2wpartial z^2, seja zero. Aqui vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia para funções radiais em R^3.

Passo 2

Vamos calcular primeiro a derivada parcial em relação a x. Aplicando a regra da cadeia a w=(r^2)^k, onde r^2=x^2+y^2+z^2, temos
partial wpartial x=k,(r^2)^k-1cdotpartial (r^2)partial x=k,(r^2)^k-1cdot2x=2k,x,(r^2)^k-1

Passo 3

Agora derivamos de novo em relação a x usando regra do produto e cadeia. Obtém-se
partial^2 wpartial x^2=2k,(r^2)^k-1+2k,xcdot(k-1),(r^2)^k-2cdot2x=2k,(r^2)^k-1+4k(k-1)x^2(r^2)^k-2

Passo 4

Somando as derivadas de segunda ordem em x,y,z e lembrando que x^2+y^2+z^2=r^2, temos
partial^2 wpartial x^2+partial^2 wpartial y^2+partial^2 wpartial z^2=6k(r^2)^k-1+4k(k-1)r^2(r^2)^k-2

Passo 5

Fatorando e simplificando dá
2kl(3+2(k-1)r)(r^2)^k-1=2k(2k+1)(r^2)^k-1

Passo 6

Para que o Laplaciano seja zero em todo ponto com rneq0, basta anular o coeficiente, i.e. resolver 2k(2k+1)=0.
Daí vem as duas soluções para k.

Resposta

k=0 ou k=-tfrac12

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