Seja
. Determine para quais valores de
a igualdade
é satisfeita.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede os valores de
tais que o Laplaciano de
, isto é
, seja zero. Aqui vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia para funções radiais em
.
Passo 2
Vamos calcular primeiro a derivada parcial em relação a
. Aplicando a regra da cadeia a
, onde
, temos
Passo 3
Agora derivamos de novo em relação a
usando regra do produto e cadeia. Obtém-se
Passo 4
Somando as derivadas de segunda ordem em
e lembrando que
, temos
Passo 5
Fatorando e simplificando dá
Passo 6
Para que o Laplaciano seja zero em todo ponto com
, basta anular o coeficiente, i.e. resolver
.
Daí vem as duas soluções para .
Daí vem as duas soluções para