Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta: lim (x, y, z) (2,1,0) (x+y+z-3)^5(x-2)(y-1) z^3.

Passo 1

Estamos lidando com limite de função de várias variáveis:
Queremos
lim(x,y,z)to(2,1,0) (x+y+z-3)^5(x-2)(y-1),z^3
O conteúdo é limite multivariável e vamos precisar testar diferentes caminhos para ver se o valor é único.

Passo 2

Primeiro, veja que no ponto de interesse a expressão não está definida (denominador zero). Então substituição direta falha. Precisamos verificar se o limite existe via caminhos.
Note que
x+y+z-3 = (x-2)+(y-1)+z
Assim o numerador é
(x+y+z-3)^5 = [(x-2)+(y-1)+z]^5

Passo 3

Para testar a dependência de caminho, parametrizamos de forma geral:
x-2 = a,t, y-1 = c,t, z = b,t, tto0,
com constantes não nulas a, b, c (para mantermos na região onde a função existe).
Substituindo na função temos:
(a t + c t + b t)^5(a t)(c t),(b t)^3 = (a+c+b)^5,t^5a c b^3,t^5 = (a+c+b)^5a,c,b^3
Esse valor depende de a, b, c, ou seja, do caminho de aproximação.

Passo 4

Como o resultado varia conforme as escolhas de a, b, c, não existe um valor único para o limite. Logo, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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