Considere a função g(t)=t cdot partial fpartial y(2 t, t^3), em que f(x, y) é uma função de duas variáveis com derivadas parciais de primeira e segunda ordem contínuas. Determine g^prime(t).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de g(t)=t·∂f/∂y(2t,t³), envolvendo derivadas parciais e regra do produto e da cadeia.

Passo 2

Reescrevendo g(t) de forma explícita temos g(t)=t·f_y(2t,t³), onde f_y denota ∂f/∂y. Aplicamos a regra do produto: A derivada de t é 1, e a derivada de f_y(2t,t³) é obtida pela regra da cadeia: Ao derivar f_y(2t,t³) em relação a t, somamos as contribuições de cada argumento: ∂/∂t f_y = f_{yx}(2t,t³)·(2) + f_{yy}(2t,t³)·(3t²).

Passo 3

Substituindo tudo na regra do produto e simplificando, chegamos à expressão final para g′(t).

Resposta

g'(t)=fy(2t,t^3)+2t,fxy(2t,t^3)+3t^3,fyy(2t,t^3)

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