Considere a função
, em que
é uma função de duas variáveis com derivadas parciais de primeira e segunda ordem contínuas. Determine
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de g(t)=t·∂f/∂y(2t,t³), envolvendo derivadas parciais e regra do produto e da cadeia.
Passo 2
Reescrevendo g(t) de forma explícita temos g(t)=t·f_y(2t,t³), onde f_y denota ∂f/∂y. Aplicamos a regra do produto: A derivada de t é 1, e a derivada de f_y(2t,t³) é obtida pela regra da cadeia: Ao derivar f_y(2t,t³) em relação a t, somamos as contribuições de cada argumento: ∂/∂t f_y = f_{yx}(2t,t³)·(2) + f_{yy}(2t,t³)·(3t²).
Passo 3
Substituindo tudo na regra do produto e simplificando, chegamos à expressão final para g′(t).