Considere a função de duas variáveis f(x, y)=raiz36-9 x^2-4 y^2. E seja C a curva de interseção do gráfico de z=f(x, y) com o plano y=2. Determine a equação da reta tangente à curva C no ponto (1,2, raiz11).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a superfície definida por f(x,y)=√(36−9x²−4y²) e a curva C é a interseção dessa superfície com o plano y=2. Queremos a reta tangente a C no ponto P=(1,2,√11). Vamos usar parametrização da curva e derivada para achar a direção.

Passo 2

Como y=2 é constante na curva, parametrize C por x. Para y=2 temos z=f(x,2)=√(36−9x²−4·2²)=√(20−9x²), logo
[
\mathbf r(x)=(x,,2,,\sqrt{20-9x^2})
]

Passo 3

Agora calculamos a derivada vetor usando regra da cadeia:
[
\mathbf r,’(x)=\bigl(1,,0,,\tfrac{d}{dx}\sqrt{20-9x^2}\bigr)
=\Bigl(1,,0,,\frac{1}{2\sqrt{20-9x^2}}(-18x)\Bigr)
=\Bigl(1,,0,,-\tfrac{9x}{\sqrt{20-9x^2}}\Bigr).
]

Passo 4

Em x=1 obtemos o vetor direção da reta tangente:
[
\mathbf v=\mathbf r,’(1)=\Bigl(1,,0,,-\tfrac{9}{\sqrt{11}}\Bigr).
]

Passo 5

O ponto de tangência é P=(1,2,√11) e o vetor direção é v, então a reta tangente passa por P e tem direção v.

Resposta

Reta tan>=nte: x=1+t, y=2, z=raiz11-9raiz11,t, tinR

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