Considere a função de duas variáveis
. E seja
a curva de interseção do gráfico de
com o plano
. Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a superfície definida por f(x,y)=√(36−9x²−4y²) e a curva C é a interseção dessa superfície com o plano y=2. Queremos a reta tangente a C no ponto P=(1,2,√11). Vamos usar parametrização da curva e derivada para achar a direção.
Passo 2
Como y=2 é constante na curva, parametrize C por x. Para y=2 temos z=f(x,2)=√(36−9x²−4·2²)=√(20−9x²), logo
[
\mathbf r(x)=(x,,2,,\sqrt{20-9x^2})
]
[
\mathbf r(x)=(x,,2,,\sqrt{20-9x^2})
]
Passo 3
Agora calculamos a derivada vetor usando regra da cadeia:
[
\mathbf r,’(x)=\bigl(1,,0,,\tfrac{d}{dx}\sqrt{20-9x^2}\bigr)
=\Bigl(1,,0,,\frac{1}{2\sqrt{20-9x^2}}(-18x)\Bigr)
=\Bigl(1,,0,,-\tfrac{9x}{\sqrt{20-9x^2}}\Bigr).
]
[
\mathbf r,’(x)=\bigl(1,,0,,\tfrac{d}{dx}\sqrt{20-9x^2}\bigr)
=\Bigl(1,,0,,\frac{1}{2\sqrt{20-9x^2}}(-18x)\Bigr)
=\Bigl(1,,0,,-\tfrac{9x}{\sqrt{20-9x^2}}\Bigr).
]
Passo 4
Em x=1 obtemos o vetor direção da reta tangente:
[
\mathbf v=\mathbf r,’(1)=\Bigl(1,,0,,-\tfrac{9}{\sqrt{11}}\Bigr).
]
[
\mathbf v=\mathbf r,’(1)=\Bigl(1,,0,,-\tfrac{9}{\sqrt{11}}\Bigr).
]
Passo 5
O ponto de tangência é P=(1,2,√11) e o vetor direção é v, então a reta tangente passa por P e tem direção v.