Calcule, se possivel, o valor das seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado dá a integral definida
O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral.
Informações relevantes fornecidas:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior).
Passo 2
Escolha do método: substituição (mudança de variável).
Por que essa escolha? Quando a integranda contém uma expressão do tipo e aparece também
no numerador, é comum usar a substituição
Por que essa escolha? Quando a integranda contém uma expressão do tipo
porque a diferencial
é proporcional a
, o que simplifica a integral. Aqui
, então tentamos
.
Breve lembrete sobre substituição:
Se e
, então
Se
Essa regra transforma a integral numa função de
, que às vezes é mais simples.
Passo 3
Aplicando a substituição
:
Calcule a diferencial:
Calcule a diferencial:
Também trocamos os limites de integração:
Agora substituímos na integral original. A parte
vira
e
vira
. Portanto
Passo 4
Tratar o sinal trocando os limites (isso é uma técnica padrão: inverter limites muda o sinal):
Agora integramos usando a regra da potência:
Regra: para ,
Regra: para
Aqui
, então
Passo 5
Calcule o valor:
Agora avaliamos nos limites:
Passo 6
Comentário final e verificação rápida: o procedimento está consistente com a substituição e com a regra da potência. O resultado é um número simples, o que costuma ser um bom sinal de que a conta foi feita corretamente.