Calcule, se possivel, o valor das seguintes integrais:
\int_{0}^{3} \frac{5 x}{\sqrt{25-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado dá a integral definida
\int_{0}^{3} \frac{5x}{\sqrt{25-x^{2}}}\,dx
O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função integranda é \dfrac{5x}{\sqrt{25-x^{2}}}.
  • Os limites de integração são x=0 (inferior) e x=3 (superior).

Passo 2

Escolha do método: substituição (mudança de variável).
Por que essa escolha? Quando a integranda contém uma expressão do tipo \sqrt{a - x^{2}} e aparece também x\,dx no numerador, é comum usar a substituição
u = a - x^{2}
porque a diferencial du é proporcional a x\,dx, o que simplifica a integral. Aqui a=25, então tentamos u=25-x^{2}.
Breve lembrete sobre substituição:
Se \;u=g(x)\; e du = g'(x)\,dx, então
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.
Essa regra transforma a integral numa função de u, que às vezes é mais simples.

Passo 3

Aplicando a substituição u=25-x^{2}:
Calcule a diferencial:
du = -2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = -\frac{1}{2}\,du.
Também trocamos os limites de integração:
\text{quando } x=0,\; u=25-0^{2}=25, \qquad \text{quando } x=3,\; u=25-3^{2}=25-9=16.
Agora substituímos na integral original. A parte \sqrt{25-x^{2}} vira \sqrt{u} e 5x\,dx vira 5\left(x\,dx\right)=5\left(-\tfrac{1}{2}du\right). Portanto
\int_{0}^{3} \frac{5x}{\sqrt{25-x^{2}}}\,dx = \int_{u=25}^{u=16} \frac{5\left(-\tfrac{1}{2}du\right)}{\sqrt{u}} = -\frac{5}{2}\int_{25}^{16} u^{-1/2}\,du.

Passo 4

Tratar o sinal trocando os limites (isso é uma técnica padrão: inverter limites muda o sinal):
-\frac{5}{2}\int_{25}^{16} u^{-1/2}\,du = \frac{5}{2}\int_{16}^{25} u^{-1/2}\,du.
Agora integramos usando a regra da potência:
Regra: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=-\tfrac{1}{2}, então
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{1/2}}{1/2} = 2u^{1/2}.

Passo 5

Calcule o valor:
\frac{5}{2}\int_{16}^{25} u^{-1/2}\,du = \frac{5}{2}\left[2u^{1/2}\right]_{16}^{25} = 5\left[u^{1/2}\right]_{16}^{25}.
Agora avaliamos nos limites:
5\left(\sqrt{25}-\sqrt{16}\right) =5\left(5-4\right)=5\cdot 1=5.

Passo 6

Comentário final e verificação rápida: o procedimento está consistente com a substituição e com a regra da potência. O resultado é um número simples, o que costuma ser um bom sinal de que a conta foi feita corretamente.

Resposta

5

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