Calcule, se possivel, o valor das seguintes integrais:
\int\left[\left(3 x-x^{2}\right) \sqrt{4 x}+\frac{x^{5}}{2 x^{6}+4}\right] d x

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pede calcular a integral indefinida
\int\left[\left(3 x-x^{2}\right) \sqrt{4 x}+\frac{x^{5}}{2 x^{6}+4}\right] dx.
  • Informação útil imediata: a expressão dentro da integral é a soma de dois termos; podemos separar a integral em soma de integrais. Também nota-se que \sqrt{4x} pode ser simplificado e que o segundo termo tem a forma \dfrac{x^{5}}{2x^{6}+4}, que sugere uma substituição envolvendo x^{6}.

Passo 2

Simplificar \sqrt{4x} e reescrever os termos em potências de x.
  • Sabemos que \sqrt{4x}=\sqrt{4}\sqrt{x}=2\sqrt{x}. Portanto
\left(3x-x^{2}\right)\sqrt{4x}= \left(3x-x^{2}\right)\cdot 2\sqrt{x}=2\left(3x-x^{2}\right)x^{1/2}.
  • Expandindo em potências:
2\left(3x-x^{2}\right)x^{1/2}=2\bigl(3x^{1+1/2}-x^{2+1/2}\bigr)=2\bigl(3x^{3/2}-x^{5/2}\bigr)=6x^{3/2}-2x^{5/2}.
  • O segundo termo pode ser escrito como
\frac{x^{5}}{2x^{6}+4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{5}}{x^{6}+2}.
  • Logo a integral fica
\int\left(6x^{3/2}-2x^{5/2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{5}}{x^{6}+2}\right)dx.

Passo 3

Separar a integral em parcelas mais simples.
Usamos a linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais e constantes saem):
\int\left(6x^{3/2}-2x^{5/2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{5}}{x^{6}+2}\right)dx = \int 6x^{3/2}\,dx - \int 2x^{5/2}\,dx + \frac{1}{2}\int\frac{x^{5}}{x^{6}+2}\,dx.

Passo 4

Integrar os dois primeiros termos usando a regra da potência.
  • Regra da potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n é o expoente da potência; é a forma básica para integrar monômios.
  • Integral de 6x^{3/2}:
\int 6x^{3/2}\,dx = 6\cdot\frac{x^{3/2+1}}{3/2+1}=6\cdot\frac{x^{5/2}}{5/2}=6\cdot\frac{2}{5}x^{5/2}=\frac{12}{5}x^{5/2}.
  • Integral de -2x^{5/2}:
\int -2x^{5/2}\,dx = -2\cdot\frac{x^{5/2+1}}{5/2+1}=-2\cdot\frac{x^{7/2}}{7/2}=-2\cdot\frac{2}{7}x^{7/2}=-\frac{4}{7}x^{7/2}.

Passo 5

Integrar o terceiro termo por substituição apropriada.
  • Observação: o integrando \dfrac{x^{5}}{x^{6}+2} sugere a substituição \;u=x^{6}+2, porque a derivada de x^{6} é 6x^{5}, que aparece proporcionalmente no numerador.
  • Faça a substituição:
u=x^{6}+2 \quad\Rightarrow\quad du=6x^{5}\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{5}\,dx=\frac{du}{6}.
  • Substituindo na integral:
\frac{1}{2}\int\frac{x^{5}}{x^{6}+2}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{6}=\frac{1}{12}\int\frac{du}{u}.
  • Integral de 1/u: para u\neq 0,
\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C.
  • Portanto
\frac{1}{12}\int\frac{du}{u}=\frac{1}{12}\ln|u|+\text{const}=\frac{1}{12}\ln\bigl|x^{6}+2\bigr|+\text{const}.
(Observação: x^{6}+2>0 para todo x, então podemos tirar o valor absoluto se quiser: \ln(x^{6}+2).)

Passo 6

Combinar todas as partes para obter a primitiva completa.
  • Somando as primitivas obtidas:
\frac{12}{5}x^{5/2}-\frac{4}{7}x^{7/2}+\frac{1}{12}\ln\bigl(x^{6}+2\bigr)+C,
onde C é a constante arbitrária de integração.

Passo 7

Comentário rápido de verificação (opcional e breve).
  • Derivando termo a termo a expressão acima usa-se a regra da potência e a regra da cadeia para o logaritmo; isso recupera 6x^{3/2}-2x^{5/2}+\dfrac{1}{2}\dfrac{x^{5}}{x^{6}+2}, que é exatamente o integrando simplificado, confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{12}{5}x^{5/2}-\dfrac{4}{7}x^{7/2}+\dfrac{1}{12}\ln\bigl(x^{6}+2\bigr)+C

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