Informação útil imediata: a expressão dentro da integral é a soma de dois termos; podemos separar a integral em soma de integrais. Também nota-se que \sqrt{4x} pode ser simplificado e que o segundo termo tem a forma \dfrac{x^{5}}{2x^{6}+4}, que sugere uma substituição envolvendo x^{6}.
Passo 2
Simplificar \sqrt{4x} e reescrever os termos em potências de x.
Sabemos que \sqrt{4x}=\sqrt{4}\sqrt{x}=2\sqrt{x}. Portanto
Integrar o terceiro termo por substituição apropriada.
Observação: o integrando \dfrac{x^{5}}{x^{6}+2} sugere a substituição \;u=x^{6}+2, porque a derivada de x^{6} é 6x^{5}, que aparece proporcionalmente no numerador.
Comentário rápido de verificação (opcional e breve).
Derivando termo a termo a expressão acima usa-se a regra da potência e a regra da cadeia para o logaritmo; isso recupera 6x^{3/2}-2x^{5/2}+\dfrac{1}{2}\dfrac{x^{5}}{x^{6}+2}, que é exatamente o integrando simplificado, confirmando que a primitiva está correta.