Calcule, se possivel, o valor das seguintes integrais:
\int_{1}^{3} \frac{\ln (2 y)}{y^{2}} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular, se possível, a integral definida
\int_{1}^{3} \frac{\ln(2y)}{y^{2}}\,dy.
Informações dadas:
  • Limites de integração: y=1 a y=3.
  • Integrando: \dfrac{\ln(2y)}{y^{2}}.
O objetivo é encontrar o valor numérico exato dessa integral.

Passo 2

Primeira ideia útil: usar a propriedade do logaritmo que separa o argumento em produto:
\ln(2y)=\ln 2+\ln y.
Isso permite escrever a integral como soma de duas integrais mais simples:
\int_{1}^{3}\frac{\ln(2y)}{y^{2}}\,dy = \int_{1}^{3}\frac{\ln 2}{y^{2}}\,dy + \int_{1}^{3}\frac{\ln y}{y^{2}}\,dy.
Explico por que isso é vantajoso: a primeira integral tem constante \ln 2 multiplicando uma potência simples de y; a segunda exige uma técnica padrão (integração por partes), que vou ensinar e aplicar a seguir.

Passo 3

Calcular a primeira integral:
\int_{1}^{3}\frac{\ln 2}{y^{2}}\,dy = \ln 2\int_{1}^{3}y^{-2}\,dy.
A primitiva de y^{-2} é -y^{-1}, porque \dfrac{d}{dy}(-y^{-1})=y^{-2}. Então
\int_{1}^{3}y^{-2}\,dy=\left[-\frac{1}{y}\right]_{1}^{3}=-\frac{1}{3}-\left(-1\right)=\frac{2}{3}.
Portanto a primeira integral vale
\ln 2\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\ln 2.

Passo 4

Agora a segunda integral:
\int_{1}^{3}\frac{\ln y}{y^{2}}\,dy.
Vou usar integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes: para funções u(y) e v(y),
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolha estratégica (regra prática: escolher u como a parte que simplifica quando derivada): tome
u=\ln y,\qquad dv=y^{-2}\,dy.
Então
du=\frac{1}{y}\,dy,\qquad v=\int y^{-2}\,dy=-\frac{1}{y}.
Aplicando a fórmula:
\int \frac{\ln y}{y^{2}}\,dy = uv - \int v\,du = \left(-\frac{\ln y}{y}\right) - \int\left(-\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{y}\,dy\right).
Simplificando o sinal dentro da integral:
\int \frac{\ln y}{y^{2}}\,dy = -\frac{\ln y}{y} + \int y^{-2}\,dy.
E já sabemos que \int y^{-2}\,dy=-\dfrac{1}{y}. Logo uma primitiva é
\int \frac{\ln y}{y^{2}}\,dy = -\frac{\ln y}{y} -\frac{1}{y} + C.

Passo 5

Agora avaliamos a primitiva entre 1 e 3:
\int_{1}^{3}\frac{\ln y}{y^{2}}\,dy = \left[-\frac{\ln y}{y}-\frac{1}{y}\right]_{1}^{3}.
Calcule em y=3:
-\frac{\ln 3}{3}-\frac{1}{3}.
Calcule em y=1. Como \ln 1=0:
-\frac{\ln 1}{1}-\frac{1}{1}=0-1=-1.
Subtraindo (valor em 3 menos valor em 1):
\left(-\frac{\ln 3}{3}-\frac{1}{3}\right)-(-1) = -\frac{\ln 3}{3}-\frac{1}{3}+1 = -\frac{\ln 3}{3}+\frac{2}{3}.

Passo 6

Somando as duas parcelas obtidas (Passo 3 + Passo 5):
\int_{1}^{3}\frac{\ln(2y)}{y^{2}}\,dy = \frac{2}{3}\ln 2 + \left(-\frac{\ln 3}{3}+\frac{2}{3}\right).
Agrupando termos semelhantes:
=\frac{2}{3}\ln 2-\frac{1}{3}\ln 3+\frac{2}{3}.
Fatorando \tfrac{1}{3}:
=\frac{1}{3}\bigl(2\ln 2-\ln 3+2\bigr).
Observação útil: 2\ln 2-\ln 3=\ln(4)-\ln(3)=\ln\!\left(\tfrac{4}{3}\right), então também se pode escrever
\frac{1}{3}\bigl(\ln\!\left(\tfrac{4}{3}\right)+2\bigr).

Resposta

\dfrac{1}{3}\bigl(\ln\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)+2\bigr)

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