Calcule, se possivel, o valor das seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular, se possível, a integral definida
Informações dadas:
- Limites de integração:
a . - Integrando:
.
O objetivo é encontrar o valor numérico exato dessa integral.
Passo 2
Primeira ideia útil: usar a propriedade do logaritmo que separa o argumento em produto:
Isso permite escrever a integral como soma de duas integrais mais simples:
Explico por que isso é vantajoso: a primeira integral tem constante
multiplicando uma potência simples de
; a segunda exige uma técnica padrão (integração por partes), que vou ensinar e aplicar a seguir.
Passo 3
Calcular a primeira integral:
A primitiva de
é
, porque
. Então
Portanto a primeira integral vale
Passo 4
Agora a segunda integral:
Vou usar integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes: para funções
e
,
Escolha estratégica (regra prática: escolher
como a parte que simplifica quando derivada): tome
Então
Aplicando a fórmula:
Simplificando o sinal dentro da integral:
E já sabemos que
. Logo uma primitiva é
Passo 5
Agora avaliamos a primitiva entre
e
:
Calcule em
:
Calcule em
. Como
:
Subtraindo (valor em
menos valor em
):
Passo 6
Somando as duas parcelas obtidas (Passo 3 + Passo 5):
Agrupando termos semelhantes:
Fatorando
:
Observação útil:
, então também se pode escrever