Calcule a potência dissipada pelo resistor R em um circuito RLC em série com a corrente sendo { }^{\mathrm{i}(\mathrm{t})}= Isen (\omega t). Deve-se usar números complexos nos cálculos.
Obs.: I é uma constante real positiva.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a potência dissipada pelo resistor R num circuito série RLC quando a corrente é dada por i(t)=I\operatorname{sen}(\omega t). Informações dadas e o que se pede:
Corrente: i(t)=I\operatorname{sen}(\omega t), com I>0 constante real.
Circuito: resistor R em série com indutor L e capacitor C (ou seja, a mesma corrente passa por todos os elementos).
Pedido: calcular a potência dissipada pelo resistor R. Deve-se usar números complexos nos cálculos (ou seja, usar representação fasorial/impedâncias complexas).
A partir daqui vou resolver passo a passo e explicar os conceitos necessários.
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (explicação didática):
Potência instantânea em R é p_R(t)=i^2(t)\,R. Mas em circuitos sinusoidais costumamos querer a potência média (real) dissipada no resistor ao longo de um período, porque potência instantânea oscila com o tempo.
Para sinais senoidais, usar fasores (números complexos) e corrente/voltagem eficaz (RMS) facilita: a potência média real entregue a um elemento é dada por P=\Re\{S\}, onde S é a potência complexa.
Com fasores em valores RMS, a potência complexa é
S=\underline{V}\,\underline{I}^*,
onde \underline{V} e \underline{I} são os fasores RMS de tensão e corrente, e ^* denota conjugado complexo. Para um resistor puro (impedância real R), a potência real dissipada é simplesmente
P=R\,I_{\text{rms}}^{2}.
Vou mostrar como chegar nisso usando a corrente dada e a representação complexa.
Passo 3
Passo para representar a corrente como fasor RMS:
A corrente no tempo é i(t)=I\operatorname{sen}(\omega t). É útil lembrar que \operatorname{sen}(\omega t)=\cos(\omega t-\tfrac{\pi}{2}), então é um seno com defasagem -\tfrac{\pi}{2} em relação ao cosseno referência.
Definimos a corrente de valor de pico I. O valor RMS (eficaz) de uma senóide de pico I é
I_{\text{rms}}=\frac{I}{\sqrt{2}}.
O fasor RMS da corrente, escolhendo referência em cosseno, é
Observação: para o cálculo da potência em R só precisamos do módulo de \underline{I}, porque R é real. A fase não afetará a potência dissipada.
Passo 4
Impedância do resistor e tensão no resistor (explicando o uso de números complexos):
Na representação fasorial RMS, a impedância do resistor é simplesmente Z_R=R (número real). Do circuito série, a corrente é a mesma em todos os elementos, então o fasor de tensão no resistor é
Posso também mostrar (sem fasor) que isso coincide com a média temporal direta: p_R(t)=R I^{2}\operatorname{sen}^{2}(\omega t) e a média de \operatorname{sen}^{2} sobre um período é 1/2, portanto P=R I^{2}\cdot\frac{1}{2}, obtendo a mesma expressão.