Calcule a potência dissipada pelo resistor R em um circuito RLC em série com a corrente sendo { }^{\mathrm{i}(\mathrm{t})}= Isen (\omega t). Deve-se usar números complexos nos cálculos.
Obs.: I é uma constante real positiva.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a potência dissipada pelo resistor R num circuito série RLC quando a corrente é dada por i(t)=I\operatorname{sen}(\omega t). Informações dadas e o que se pede:
  • Corrente: i(t)=I\operatorname{sen}(\omega t), com I>0 constante real.
  • Circuito: resistor R em série com indutor L e capacitor C (ou seja, a mesma corrente passa por todos os elementos).
  • Pedido: calcular a potência dissipada pelo resistor R. Deve-se usar números complexos nos cálculos (ou seja, usar representação fasorial/impedâncias complexas).
    A partir daqui vou resolver passo a passo e explicar os conceitos necessários.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicação didática):
  • Potência instantânea em R é p_R(t)=i^2(t)\,R. Mas em circuitos sinusoidais costumamos querer a potência média (real) dissipada no resistor ao longo de um período, porque potência instantânea oscila com o tempo.
  • Para sinais senoidais, usar fasores (números complexos) e corrente/voltagem eficaz (RMS) facilita: a potência média real entregue a um elemento é dada por P=\Re\{S\}, onde S é a potência complexa.
  • Com fasores em valores RMS, a potência complexa é
S=\underline{V}\,\underline{I}^*,
onde \underline{V} e \underline{I} são os fasores RMS de tensão e corrente, e ^* denota conjugado complexo. Para um resistor puro (impedância real R), a potência real dissipada é simplesmente
P=R\,I_{\text{rms}}^{2}.
Vou mostrar como chegar nisso usando a corrente dada e a representação complexa.

Passo 3

Passo para representar a corrente como fasor RMS:
  • A corrente no tempo é i(t)=I\operatorname{sen}(\omega t). É útil lembrar que \operatorname{sen}(\omega t)=\cos(\omega t-\tfrac{\pi}{2}), então é um seno com defasagem -\tfrac{\pi}{2} em relação ao cosseno referência.
  • Definimos a corrente de valor de pico I. O valor RMS (eficaz) de uma senóide de pico I é
I_{\text{rms}}=\frac{I}{\sqrt{2}}.
  • O fasor RMS da corrente, escolhendo referência em cosseno, é
\underline{I}=I_{\text{rms}}\angle\left(-\frac{\pi}{2}\right).
Observação: para o cálculo da potência em R só precisamos do módulo de \underline{I}, porque R é real. A fase não afetará a potência dissipada.

Passo 4

Impedância do resistor e tensão no resistor (explicando o uso de números complexos):
  • Na representação fasorial RMS, a impedância do resistor é simplesmente Z_R=R (número real). Do circuito série, a corrente é a mesma em todos os elementos, então o fasor de tensão no resistor é
\underline{V}_R=\underline{I}\,Z_R=\underline{I}\,R.
  • Potência complexa associada ao resistor (usando fasores RMS) é
S_R=\underline{V}_R\,\underline{I}^{*}.
Substituindo \underline{V}_R=\underline{I}R obtemos
S_R=(\underline{I}R)\,\underline{I}^{*}=R\,\underline{I}\,\underline{I}^{*}.
Agora vou explicar por que \underline{I}\,\underline{I}^{*}=|\underline{I}|^{2}=I_{\text{rms}}^{2}.

Passo 5

Propriedade do conjugado e módulo (explicação):
  • Se \underline{I}=I_{\text{rms}}\angle\varphi então \underline{I}^{*}=I_{\text{rms}}\angle(-\varphi).
  • Multiplicando \underline{I}\underline{I}^{*}
\underline{I}\,\underline{I}^{*}=I_{\text{rms}}^{2}\angle(\varphi-\varphi)=I_{\text{rms}}^{2}.
Ou seja, o produto de um fasor pelo seu conjugado é o quadrado do módulo (um número real positivo).
  • Voltando a S_R, temos então
S_R=R\,I_{\text{rms}}^{2}.
Como S_R aqui já é real (o resistor não armazena energia), a potência média real dissipada é
P=\Re\{S_R\}=R\,I_{\text{rms}}^{2}.

Passo 6

Substituir I_{\text{rms}}=\dfrac{I}{\sqrt{2}} para obter a forma em função do pico I:
  • Substituindo
P=R\left(\frac{I}{\sqrt{2}}\right)^{2}=R\frac{I^{2}}{2}.
  • Posso também mostrar (sem fasor) que isso coincide com a média temporal direta: p_R(t)=R I^{2}\operatorname{sen}^{2}(\omega t) e a média de \operatorname{sen}^{2} sobre um período é 1/2, portanto P=R I^{2}\cdot\frac{1}{2}, obtendo a mesma expressão.

Resposta

P=\frac{I^{2}R}{2}

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