Os circuitos RLC em série são amplamente utilizados em sistemas de rádio para sintonizar sinais de uma frequência específica. Quando um circuito RLC está em ressonância, ele permite a passagem de sinais com frequência igual à sua frequência natural, atenuando as demais. Um circuito RLC é essencial para selecionar uma estação de rádio entre várias disponíveis. Considere um circuito RLC com frequência variável série conectado a uma fonte de tensão alternada senoidal com amplitude de 10V. Os componentes do circuito são resistência R = 50 Ω, indutância L = 0,1 H e capacitância C = 25 nF. Com base nestas informações (todas as respostas devem ser justificadas):
a) Qual a frequência de ressonância do circuito?
b) Qual a potência média dissipada no circuito na frequência de ressonância? Qual a impedância total do circuito na ressonância? Qual a amplitude da tensão no resistor?
c) Agora adicione 1000 Hz à frequência de ressonância calculada no item a) Nesta nova frequência, qual será a impedância total do circuito?
d) Para o circuito operando na mesma frequência considerada no item anterior, qual será a potência média dissipada?
e) A partir dos resultados obtidos nos itens anteriores, explique com suas palavras por que a potência dissipada é máxima na ressonância e como isso se relaciona com a possibilidade de se usar este circuito para sintonizar uma frequência específica.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre um circuito série RLC alimentado por uma tensão senoidal de amplitude 10\\ \mathrm{V}. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos.
Perguntas do enunciado:
a) Qual a frequência de ressonância do circuito?
b) Na frequência de ressonância: qual a potência média dissipada no circuito? Qual a impedância total do circuito na ressonância? Qual a amplitude da tensão no resistor?
c) Se aumentarmos a frequência em 1000\\ \mathrm{Hz} acima da ressonância, qual será a impedância total do circuito nessa nova frequência?
d) Nessa mesma frequência do item (c), qual será a potência média dissipada?
e) Explique por que a potência dissipada é máxima na ressonância e relacione isso com a sintonia de uma estação de rádio.
Dados fornecidos:
R = 50\\ \Omega,
L = 0,1\\ \mathrm{H},
C = 25\times 10^{-9}\\ \mathrm{F},
amplitude da tensão da fonte V_{\text{amp}} = 10\\ \mathrm{V}.
Observação: todas as respostas serão justificadas passo a passo.

Passo 2

Entendendo a fórmula da frequência de ressonância e calculando-a.
Teoria curta e didática: num circuito série RLC a ressonância ocorre quando a reatância do indutor (que é positiva) cancela a reatância do capacitor (que é negativa). As reatâncias são:
X_L = \omega L,
X_C = \frac{1}{\omega C},
onde \omega é a frequência angular (\omega = 2\pi f), L é a indutância e C a capacitância. A condição de ressonância é
X_L = X_C \quad\Longrightarrow\quad \omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C}.
Resolver para \omega_0 dá a expressão clássica
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L C}}.
A frequência em hertz é
f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi}.
Agora aplico com os valores dados:
Calculo intermediário do produto L C:
L C = 0,1 \times 25\times10^{-9} = 2,5\times10^{-9}.
Raiz:
\sqrt{L C} = \sqrt{2,5\times10^{-9}} = 5{,}0\times10^{-5}.
Logo
\omega_0 = \frac{1}{5{,}0\times10^{-5}} = 2{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{rad/s}.
E a frequência em hertz:
f_0 = \frac{2{,}0\times10^{4}}{2\pi} \approx 3183{,}10\\ \mathrm{Hz}.

Passo 3

Na ressonância: impedância total, potência média dissipada e amplitude da tensão no resistor.
Conceitos/lembranças importantes:
  • Impedância de um circuito série RLC é
Z = R + j(X_L - X_C),
com j a unidade imaginária. A magnitude é |Z|=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}.
  • Potência média dissipada em circuito resistivo com tensão senoidal é
P = V_{\mathrm{rms}}^2 \frac{R}{|Z|^2} = I_{\mathrm{rms}}^2 R,
onde V_{\mathrm{rms}} = V_{\text{amp}}/\sqrt{2} e I_{\mathrm{rms}} = V_{\mathrm{rms}}/|Z|.
  • Na ressonância X_L = X_C, então a parte imaginária some e Z é puramente real igual a R.
Passo a passo numérico:
  1. Tensão RMS da fonte:
V_{\mathrm{rms}} = \frac{V_{\text{amp}}}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}}\\ \mathrm{V}.
Note que V_{\mathrm{rms}}^2 = \frac{100}{2} = 50\\ \mathrm{V}^2 — isso facilita contas de potência.
  1. Impedância total na ressonância:
    Como X_L=X_C, temos
Z_{\text{ress}} = R = 50\\ \Omega.
  1. Potência média dissipada na ressonância:
    Usando P = V_{\mathrm{rms}}^2 / R (já que |Z|=R):
P_{\text{ress}} = \frac{50}{50} = 1{,}0\\ \mathrm{W}.
  1. Amplitude da corrente na ressonância:
    Corrente de amplitude (pico)
I_{\text{amp}} = \frac{V_{\text{amp}}}{|Z|} = \frac{10}{50} = 0{,}2\\ \mathrm{A}.
Portanto a tensão de amplitude no resistor é
V_{R,\text{amp}} = I_{\text{amp}}\cdot R = 0{,}2\times50 = 10\\ \mathrm{V},
ou seja, a tensão de amplitude no resistor coincide com a amplitude da fonte (porque as quedas reativas se cancelam). Em RMS isso corresponde a V_{R,\mathrm{rms}} = 10/\sqrt{2}\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Calcular a impedância total quando a frequência é f = f_0 + 1000\\ \mathrm{Hz}.
Planejamento: calcular \omega = 2\pi f = \omega_0 + 2\pi\cdot 1000, depois X_L=\omega L, X_C=1/(\omega C) e finalmente |Z|=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}.
Cálculos:
  1. Frequência nova:
f = 3183{,}10 + 1000 = 4183{,}10\\ \mathrm{Hz}.
  1. Frequência angular:
\omega = 2\pi f = \omega_0 + 2\pi\cdot1000 \approx 2{,}0\times10^{4} + 2\pi\cdot1000 \approx 26283{,}19\\ \mathrm{rad/s}.
  1. Reatância indutiva:
X_L = \omega L \approx 26283{,}19 \times 0{,}1 = 2628{,}32\\ \Omega.
  1. Reatância capacitiva:
X_C = \frac{1}{\omega C} \approx \frac{1}{26283{,}19 \times 25\times10^{-9}} \approx 1521{,}29\\ \Omega.
(esse valor obtive direto do produto \omega C\approx 6{,}5708\times10^{-4} e invertendo)
  1. Diferença de reatâncias:
X_L - X_C \approx 2628{,}32 - 1521{,}29 = 1107{,}03\\ \Omega.
  1. Impedância total (magnitude):
|Z| = \sqrt{R^2 + (X_L-X_C)^2} \approx \sqrt{50^2 + 1107{,}03^2} \approx 1108{,}19\\ \Omega.

Passo 5

Potência média dissipada na frequência f = f_0 + 1000\\ \mathrm{Hz}.
Relembrando a fórmula:
P = I_{\mathrm{rms}}^2 R,\qquad I_{\mathrm{rms}} = \frac{V_{\mathrm{rms}}}{|Z|}.
Já sabemos V_{\mathrm{rms}}^2 = 50\\ \mathrm{V}^2 (veja Passo 3) e |Z|^2 \approx (1108{,}19)^2.
Cálculo:
I_{\mathrm{rms}} = \frac{V_{\mathrm{rms}}}{|Z|} = \frac{10/\sqrt{2}}{1108{,}19} \approx 0{,}00638\\ \mathrm{A}.
P = I_{\mathrm{rms}}^2 R \approx (0{,}00638)^2 \times 50 \approx 2{,}03\times10^{-3}\\ \mathrm{W}.
Portanto a potência dissipada nessa frequência é da ordem de alguns miliwatts, muito menor que na ressonância.

Passo 6

Explicação, em palavras, do porquê a potência é máxima na ressonância e relação com sintonia.
Intuição física simples e aplicada:
  • A fonte impõe uma tensão; a corrente que percorre o circuito depende da impedância total |Z|. A potência dissipada pela resistência é P=I_{\mathrm{rms}}^2 R. Assim, para maximizar P precisamos maximizar a corrente RMS, ou seja, minimizar |Z|.
  • Em série RLC a parte imaginária da impedância é X_L-X_C. Na ressonância essa parte imaginária é zero ( X_L=X_C), então a impedância mínima possível é exatamente R. Fora da ressonância a diferença X_L-X_C é distinta de zero e aumenta |Z|, reduzindo fortemente a corrente e, portanto, a potência dissipada no resistor.
  • No caso prático de um rádio: sintonizar uma estação significa fazer o circuito estar na ressonância para a frequência desejada. Na ressonância o circuito aceita/permite a maior corrente para essa frequência (ou equivalente, apresenta maior ganho de tensão no resistor/etapa que segue), enquanto sinais em frequências diferentes produzem correntes muito menores — portanto são atenuados. Assim, o circuito atua como um seletor de frequência: máximo de resposta em f_0, resposta pequena em outras frequências.
Observação final motivacional: então, resumindo de um jeito amigo — na ressonância você “abre a porta” só para a frequência que quer porque aí o circuito apresenta apenas a resistência (impedância mínima) e entrega a maior potência possível ao componente útil. Fora daí, a “porta” fica quase fechada (impedância grande), e pouco do sinal passa.

Resposta

a) f_0 \approx 3183{,}10\\ \mathrm{Hz}.
b) Potência média na ressonância: P_{\text{ress}} = 1{,}0\\ \mathrm{W}.
Impedância total na ressonância: Z_{\text{ress}} = 50\\ \Omega.
Amplitude da tensão no resistor: V_{R,\text{amp}} = 10\\ \mathrm{V}.
c) Impedância total em f_0+1000\\ \mathrm{Hz}: |Z|\approx 1108{,}19\\ \Omega.
d) Potência média nessa frequência: P \approx 2{,}03\times10^{-3}\\ \mathrm{W}.
e) A potência é máxima na ressonância porque aí as reatâncias indutiva e capacitiva se cancelam ( X_L=X_C), fazendo a impedância total mínima e puramente resistiva ( Z=R). Com menor impedância, a corrente é máxima para a mesma tensão de excitação, resultando em máxima dissipação no resistor. Isso é exatamente o que permite a sintonia: o circuito responde fortemente (entrega potência máxima) apenas para a frequência ressonante e atenua outras frequências.

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