Os circuitos RLC em série são amplamente utilizados em sistemas de rádio para sintonizar sinais de uma frequência específica. Quando um circuito RLC está em ressonância, ele permite a passagem de sinais com frequência igual à sua frequência natural, atenuando as demais. Um circuito RLC é essencial para selecionar uma estação de rádio entre várias disponíveis. Considere um circuito RLC com frequência variável série conectado a uma fonte de tensão alternada senoidal com amplitude de 10V. Os componentes do circuito são resistência R = 50 Ω, indutância L = 0,1 H e capacitância C = 25 nF. Com base nestas informações (todas as respostas devem ser justificadas):
a) Qual a frequência de ressonância do circuito?
b) Qual a potência média dissipada no circuito na frequência de ressonância? Qual a impedância total do circuito na ressonância? Qual a amplitude da tensão no resistor?
c) Agora adicione 1000 Hz à frequência de ressonância calculada no item a) Nesta nova frequência, qual será a impedância total do circuito?
d) Para o circuito operando na mesma frequência considerada no item anterior, qual será a potência média dissipada?
e) A partir dos resultados obtidos nos itens anteriores, explique com suas palavras por que a potência dissipada é máxima na ressonância e como isso se relaciona com a possibilidade de se usar este circuito para sintonizar uma frequência específica.
a) Qual a frequência de ressonância do circuito?
b) Qual a potência média dissipada no circuito na frequência de ressonância? Qual a impedância total do circuito na ressonância? Qual a amplitude da tensão no resistor?
c) Agora adicione 1000 Hz à frequência de ressonância calculada no item a) Nesta nova frequência, qual será a impedância total do circuito?
d) Para o circuito operando na mesma frequência considerada no item anterior, qual será a potência média dissipada?
e) A partir dos resultados obtidos nos itens anteriores, explique com suas palavras por que a potência dissipada é máxima na ressonância e como isso se relaciona com a possibilidade de se usar este circuito para sintonizar uma frequência específica.
Passo 1
O enunciado pede várias coisas sobre um circuito série RLC alimentado por uma tensão senoidal de amplitude
. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos.
Perguntas do enunciado:
a) Qual a frequência de ressonância do circuito?
b) Na frequência de ressonância: qual a potência média dissipada no circuito? Qual a impedância total do circuito na ressonância? Qual a amplitude da tensão no resistor?
c) Se aumentarmos a frequência em acima da ressonância, qual será a impedância total do circuito nessa nova frequência?
d) Nessa mesma frequência do item (c), qual será a potência média dissipada?
e) Explique por que a potência dissipada é máxima na ressonância e relacione isso com a sintonia de uma estação de rádio.
a) Qual a frequência de ressonância do circuito?
b) Na frequência de ressonância: qual a potência média dissipada no circuito? Qual a impedância total do circuito na ressonância? Qual a amplitude da tensão no resistor?
c) Se aumentarmos a frequência em
d) Nessa mesma frequência do item (c), qual será a potência média dissipada?
e) Explique por que a potência dissipada é máxima na ressonância e relacione isso com a sintonia de uma estação de rádio.
Dados fornecidos:
amplitude da tensão da fonte
Observação: todas as respostas serão justificadas passo a passo.
Passo 2
Entendendo a fórmula da frequência de ressonância e calculando-a.
Teoria curta e didática: num circuito série RLC a ressonância ocorre quando a reatância do indutor (que é positiva) cancela a reatância do capacitor (que é negativa). As reatâncias são:
onde
é a frequência angular
,
é a indutância e
a capacitância. A condição de ressonância é
Resolver para
dá a expressão clássica
A frequência em hertz é
Agora aplico com os valores dados:
Calculo intermediário do produto :
Calculo intermediário do produto
Raiz:
Logo
E a frequência em hertz:
Passo 3
Na ressonância: impedância total, potência média dissipada e amplitude da tensão no resistor.
Conceitos/lembranças importantes:
- Impedância de um circuito série RLC é
com
a unidade imaginária. A magnitude é
.
- Potência média dissipada em circuito resistivo com tensão senoidal é
onde
e
.
- Na ressonância
, então a parte imaginária some e é puramente real igual a .
Passo a passo numérico:
- Tensão RMS da fonte:
Note que
— isso facilita contas de potência.
- Impedância total na ressonância:
Como, temos
- Potência média dissipada na ressonância:
Usando(já que ):
- Amplitude da corrente na ressonância:
Corrente de amplitude (pico)
Portanto a tensão de amplitude no resistor é
ou seja, a tensão de amplitude no resistor coincide com a amplitude da fonte (porque as quedas reativas se cancelam). Em RMS isso corresponde a
.
Passo 4
Calcular a impedância total quando a frequência é
.
Planejamento: calcular
, depois
,
e finalmente
.
Cálculos:
- Frequência nova:
- Frequência angular:
- Reatância indutiva:
- Reatância capacitiva:
(esse valor obtive direto do produto
e invertendo)
- Diferença de reatâncias:
- Impedância total (magnitude):
Passo 5
Potência média dissipada na frequência
.
Relembrando a fórmula:
Já sabemos
(veja Passo 3) e
.
Cálculo:
Portanto a potência dissipada nessa frequência é da ordem de alguns miliwatts, muito menor que na ressonância.
Passo 6
Explicação, em palavras, do porquê a potência é máxima na ressonância e relação com sintonia.
Intuição física simples e aplicada:
- A fonte impõe uma tensão; a corrente que percorre o circuito depende da impedância total
. A potência dissipada pela resistência é . Assim, para maximizar precisamos maximizar a corrente RMS, ou seja, minimizar . - Em série RLC a parte imaginária da impedância é
. Na ressonância essa parte imaginária é zero ( ), então a impedância mínima possível é exatamente . Fora da ressonância a diferença é distinta de zero e aumenta , reduzindo fortemente a corrente e, portanto, a potência dissipada no resistor. - No caso prático de um rádio: sintonizar uma estação significa fazer o circuito estar na ressonância para a frequência desejada. Na ressonância o circuito aceita/permite a maior corrente para essa frequência (ou equivalente, apresenta maior ganho de tensão no resistor/etapa que segue), enquanto sinais em frequências diferentes produzem correntes muito menores — portanto são atenuados. Assim, o circuito atua como um seletor de frequência: máximo de resposta em
, resposta pequena em outras frequências.
Observação final motivacional: então, resumindo de um jeito amigo — na ressonância você “abre a porta” só para a frequência que quer porque aí o circuito apresenta apenas a resistência (impedância mínima) e entrega a maior potência possível ao componente útil. Fora daí, a “porta” fica quase fechada (impedância grande), e pouco do sinal passa.
Resposta
a)
b) Potência média na ressonância:
Impedância total na ressonância:
Amplitude da tensão no resistor:
c) Impedância total em :
d) Potência média nessa frequência:
e) A potência é máxima na ressonância porque aí as reatâncias indutiva e capacitiva se cancelam ( ), fazendo a impedância total mínima e puramente resistiva (
). Com menor impedância, a corrente é máxima para a mesma tensão de excitação, resultando em máxima dissipação no resistor. Isso é exatamente o que permite a sintonia: o circuito responde fortemente (entrega potência máxima) apenas para a frequência ressonante e atenua outras frequências.
b) Potência média na ressonância:
Impedância total na ressonância:
Amplitude da tensão no resistor:
c) Impedância total em
d) Potência média nessa frequência:
e) A potência é máxima na ressonância porque aí as reatâncias indutiva e capacitiva se cancelam (