Uma linha de transmissão horizontal é percorrida por uma corrente de 2500 A no sentido norte-sul. O campo magnético da Terra (B=60,0 \mu \mathrm{~T}) tem a direção norte-sul e forma um ângulo de 75 graus com a horizontal. Determine (a) o módulo e (b) a direção da força magnética exercida pelo campo magnético da Terra sobre 100 m de linha. (R. 14,5 \mathrm{~N}, de leste para oeste)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) o módulo da força magnética exercida pelo campo da Terra sobre 100\\ \mathrm{m} de fio;
(b) a direção dessa força.
Dados fornecidos:
I = 2500\\ \mathrm{A}
L = 100\\ \mathrm{m}
B = 60{,}0\\ \mu\mathrm{T}
o fio é horizontal e percorre no sentido norte–sul (isto é, ao longo do eixo norte–sul), e o campo magnético da Terra tem direção norte–sul e forma um ângulo de 75^\circ com a horizontal.

Passo 2

Fórmula que usamos: a força magnética sobre um fio retilíneo e de comprimento L percorrido por corrente I num campo magnético \vec B é dada por
\vec F = I\,\vec L \times \vec B,
onde \vec L é um vetor de módulo L apontando na direção da corrente. O módulo da força é
F = I\,L\,B\,\sin\theta,
em que \theta é o ângulo entre a direção do fio (direção da corrente) e \vec B. Explicando as variáveis:
  • I é a intensidade da corrente (em ampères),
  • L é o comprimento do trecho do fio considerado (em metros),
  • B é o módulo do campo magnético (em tesla),
  • \theta é o ângulo entre o fio e o campo (em graus ou radianos).
Essa fórmula vem diretamente da definição do produto vetorial: o produto vetorial tem magnitude igual ao produto dos módulos vezes o seno do ângulo entre eles.

Passo 3

Determinando o ângulo \theta a usar: o fio é horizontal e tem direção norte–sul; o campo magnético também está na direção norte–sul, porém inclinado 75^\circ em relação à horizontal. Portanto o ângulo entre a direção do fio (horizontal) e a direção do campo é
\theta = 75^\circ.

Passo 4

Converter B para unidades SI (tesla). Como 1\\ \mu\mathrm{T}=10^{-6}\\ \mathrm{T},
B = 60{,}0\\ \mu\mathrm{T} = 60{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{T} = 6{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{T}.

Passo 5

Calcular o produto I\,L\,B antes de incluir o seno:
I\,L\,B = 2500 \times 100 \times 6{,}0\times 10^{-5}.
Fazendo as contas em etapas:
2500\times 100 = 250000,
250000\times 6{,}0\times 10^{-5} = 250000\times 0{,}00006 = 15{,}0.
Logo I\,L\,B = 15{,}0\\ \mathrm{N} multiplicado por \sin\theta.

Passo 6

Calcular \sin 75^\circ. Uma forma exata conveniente é usar a identidade de soma:
\sin 75^\circ = \sin(45^\circ+30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ.
Substituindo valores conhecidos:
\sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad \cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin30^\circ=\frac{1}{2},
então
\sin75^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}+1}{2}\approx 0{,}9659258.

Passo 7

Agora o módulo da força:
F = I\,L\,B\,\sin 75^\circ = 15{,}0\times 0{,}9659258 \approx 14{,}4889\\ \mathrm{N}.
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas compatíveis com os dados),
F \approx 14{,}5\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Determinar a direção da força (sentido): usamos a regra da mão direita para o produto vetorial \vec F = I\,\vec L\times\vec B. Para ficar claro, escolha um sistema de eixos: x para o leste, y para o norte e z para cima. O fio está ao longo do eixo y mas apontando para o sul, ou seja, na direção -\hat y. O campo \vec B tem componente horizontal ao longo do eixo y (norte–sul) e componente vertical (para cima ou para baixo); a componente horizontal não gera força porque é paralela ao fio, só a componente vertical de \vec B (que é perpendicular ao fio) produz \vec F. Tomando a componente vertical de \vec B como positiva para cima ( +\hat z), o produto vetorial dá:
\hat L \times \hat z = (-\hat y)\times \hat z = -(\hat y\times\hat z) = -\hat x,
e -\hat x aponta para o oeste. Portanto a força é horizontal, apontando de leste para oeste. (Se a corrente estivesse no sentido oposto, a força inverte-se.)

Resposta

(a) 14{,}5\\ \mathrm{N}
(b) de leste para oeste

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