Para um circuito do tipo RL em série e uma corrente real i_{(t)}=I \operatorname{sen}(\omega t), sendo I uma constante positiva real. Encontre a voltagem \mathrm{V}_{(\mathrm{t})} real utilizando números complexos primeiro e depois encontrando a parte real.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado:
  • Pede-se encontrar a tensão real v_{(t)} num circuito série R- L quando a corrente real é \,i_{(t)} = I \operatorname{sen}(\omega t)\,, com I>0.
  • Dados importantes (que vamos usar): a resistência \,R, a indutância \,L, a frequência angular \,\omega, e a amplitude da corrente \,I.
  • Lembre-se: na notação do ponto, i_{(t)} e v_{(t)} são funções reais de tempo. Vou usar números complexos (fásors) para facilitar cálculos e depois tomar a parte real — como o enunciado pede.

Passo 2

Como representar a corrente senoidal com números complexos (fásor):
  • A ideia: representar a função senoidal como a parte real de um exponencial complexo do tipo \hat{I} e^{j\omega t}, porque operações lineares (multiplicação por impedância) ficam fáceis com exponenciais.
  • Queremos uma \hat{I} tal que
i_{(t)}=\operatorname{Re}\{\hat{I}\,e^{j\omega t}\} = I\operatorname{sen}(\omega t).
  • Uma maneira direta é escolher
\hat{I} = -jI,
porque
\hat{I}\,e^{j\omega t} = (-jI)e^{j\omega t} = I e^{j(\omega t - \pi/2)}
e então
\operatorname{Re}\{(-jI)e^{j\omega t}\} = I\cos(\omega t - \tfrac{\pi}{2}) = I\operatorname{sen}(\omega t).
  • Conclusão: podemos trabalhar com o fásor de corrente \hat{I}=-jI e com a dependência temporal e^{j\omega t}.

Passo 3

Impedância do circuito série R- L e relação fásor entre corrente e tensão:
  • No domínio dos fásors, a resistência continua R e a indutância vira uma reatância imaginária j\omega L.
  • Portanto a impedância do conjunto em série é
Z = R + j\omega L.
  • A relação fásor entre tensão e corrente é simplesmente
\hat{V} = Z\,\hat{I}.
Aqui \hat{V} é a amplitude complexa da tensão tal que a tensão no tempo é \operatorname{Re}\{\hat{V} e^{j\omega t}\}.

Passo 4

Calcular o fásor da tensão \hat{V}:
  • Substituindo \hat{I}=-jI e Z=R+j\omega L:
\hat{V} = (-jI)\,(R + j\omega L).
  • Fazer a multiplicação passo a passo:
(-jI)(R + j\omega L) = -jIR - j^2 I\omega L.
  • Lembrando que j^2=-1, obtemos
\hat{V} = -jIR + I\omega L = I\omega L - jIR.
  • Então o fásor da tensão é \hat{V}=I\omega L - jIR.

Passo 5

Voltar ao domínio do tempo: tomar a parte real de \hat{V} e^{j\omega t}:
  • Escrevemos a tensão complexa no tempo:
\tilde{V}(t)=\hat{V}e^{j\omega t} = (I\omega L - jIR)e^{j\omega t}.
  • Para extrair a tensão real usamos a identidade geral: se A=a+jb então
\operatorname{Re}\{A e^{j\omega t}\} = a\cos(\omega t) - b\sin(\omega t).
  • Aqui a = I\omega L e b = -IR (porque \hat{V}=I\omega L + j(-IR)). Aplicando a fórmula:
v_{(t)} = I\omega L\cos(\omega t) - (-IR)\sin(\omega t) = I\omega L\cos(\omega t) + IR\sin(\omega t).
  • Podemos reescrever em ordem natural (resistiva + indutiva):
v_{(t)} = IR\sin(\omega t) + I\omega L\cos(\omega t).

Passo 6

Verificação direta no domínio do tempo (checar que está coerente com v(t)=R i(t) + L \dfrac{di}{dt}):
  • Calcule \dfrac{d}{dt}i_{(t)}:
\dfrac{d}{dt}i_{(t)} = \dfrac{d}{dt}\bigl(I\operatorname{sen}(\omega t)\bigr) = I\omega\cos(\omega t).
  • Então
v_{(t)} = R i_{(t)} + L \dfrac{d}{dt}i_{(t)} = R(I\operatorname{sen}(\omega t)) + L(I\omega\cos(\omega t)),
ou seja
v_{(t)} = IR\sin(\omega t) + I\omega L\cos(\omega t),
que coincide com o resultado obtido pelo método dos fásors. Boa — foi conferido!

Passo 7

Forma alternativa em uma única senoide (amplitude e fase):
  • Somando termos A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t) sempre pode ser escrito como uma única senoide com deslocamento de fase:
A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t) = \sqrt{A^{2}+B^{2}}\;\sin(\omega t + \varphi),
onde \varphi = \arctan\!\bigl(\dfrac{B}{A}\bigr) (ajustar quadrante se necessário).
  • No nosso caso A = IR e B = I\omega L. Assim a amplitude resultante é
I\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}
e a fase
\varphi = \arctan\!\biggl(\dfrac{\omega L}{R}\biggr).
  • Logo uma forma alternativa é
v_{(t)} = I\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}\;\sin\!\Bigl(\omega t + \arctan\!\bigl(\tfrac{\omega L}{R}\bigr)\Bigr).

Resposta

v_{(t)} = IR\sin(\omega t) + I\omega L\cos(\omega t)\n
v_{(t)} = I\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}\;\sin\!\Bigl(\omega t + \arctan\!\bigl(\tfrac{\omega L}{R}\bigr)\Bigr)

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