Para um circuito do tipo RL em série e uma corrente real
, sendo I uma constante positiva real. Encontre a voltagem
real utilizando números complexos primeiro e depois encontrando a parte real.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos é dado:
- Pede-se encontrar a tensão real
num circuito série - quando a corrente real é , com . - Dados importantes (que vamos usar): a resistência
, a indutância , a frequência angular , e a amplitude da corrente . - Lembre-se: na notação do ponto,
e são funções reais de tempo. Vou usar números complexos (fásors) para facilitar cálculos e depois tomar a parte real — como o enunciado pede.
Passo 2
Como representar a corrente senoidal com números complexos (fásor):
- A ideia: representar a função senoidal como a parte real de um exponencial complexo do tipo
, porque operações lineares (multiplicação por impedância) ficam fáceis com exponenciais. - Queremos uma
tal que
- Uma maneira direta é escolher
porque
e então
- Conclusão: podemos trabalhar com o fásor de corrente
e com a dependência temporal .
Passo 3
Impedância do circuito série
-
e relação fásor entre corrente e tensão:
- No domínio dos fásors, a resistência continua
e a indutância vira uma reatância imaginária . - Portanto a impedância do conjunto em série é
- A relação fásor entre tensão e corrente é simplesmente
Aqui
é a amplitude complexa da tensão tal que a tensão no tempo é
.
Passo 4
Calcular o fásor da tensão
:
- Substituindo
e :
- Fazer a multiplicação passo a passo:
- Lembrando que
, obtemos
- Então o fásor da tensão é
.
Passo 5
Voltar ao domínio do tempo: tomar a parte real de
:
- Escrevemos a tensão complexa no tempo:
- Para extrair a tensão real usamos a identidade geral: se
então
- Aqui
e (porque ). Aplicando a fórmula:
- Podemos reescrever em ordem natural (resistiva + indutiva):
Passo 6
Verificação direta no domínio do tempo (checar que está coerente com
):
- Calcule
:
- Então
ou seja
que coincide com o resultado obtido pelo método dos fásors. Boa — foi conferido!
Passo 7
Forma alternativa em uma única senoide (amplitude e fase):
- Somando termos
sempre pode ser escrito como uma única senoide com deslocamento de fase:
onde
(ajustar quadrante se necessário).
- No nosso caso
e . Assim a amplitude resultante é
e a fase
- Logo uma forma alternativa é