Calcule a potência do número complexo.
(1+j)^{10}
Escolha uma opção:
a. 32 j
b. -32
c. 32
d. -32 j

Passo 1

O enunciado pede para calcular (1 + j)^{10}, usando conhecimento de números complexos e o Teorema de De Moivre. Vamos converter 1 + j para a forma polar, elevar ao expoente 10 e depois voltar para a forma retangular.

Passo 2

Calculamos o módulo e o argumento de 1 + j.
O módulo é
r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2},
e o argumento é
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{1}\bigr) = \tfrac{\pi}{4}.
Portanto
1 + j = \sqrt{2}\,e^{j\pi/4}.

Passo 3

Aplicamos o Teorema de De Moivre para elevar à décima potência:
(1 + j)^{10} = \bigl(\sqrt{2}\bigr)^{10}\,e^{j\,10\,(\pi/4)}.

Passo 4

Calculamos cada parte:
\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{10} = 2^{5} = 32,
10\cdot\tfrac{\pi}{4} = \tfrac{10\pi}{4} = \tfrac{5\pi}{2} = 2\pi + \tfrac{\pi}{2}.
Como e^{j2\pi}=1, sobra
(1+j)^{10} = 32\,e^{j\pi/2} = 32\,j.

Passo 5

Comparando com as opções, o resultado 32j corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a) 32j

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