Calcule a potência do número complexo.
8
\left(\frac{3 \sqrt{3}}{5}+j \frac{3}{5}\right)^{21}
Escolha uma opção:
a. 46
b. -46 j
c. 46 j
d. -46

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\left(\frac{3\sqrt{3}}{5} + j\,\frac{3}{5}\right)^{21}
usando potência de número complexo. Vamos usar a forma polar e a Fórmula de De Moivre.

Passo 2

Escrevemos z = \tfrac{3\sqrt{3}}{5} + j\,\tfrac{3}{5} em forma polar z = r\,e^{j\theta}.
O módulo é
r = \sqrt{\Bigl(\tfrac{3\sqrt{3}}{5}\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)^2} = \sqrt{\tfrac{27}{25} + \tfrac{9}{25}} = \tfrac{6}{5},
e o argumento, no primeiro quadrante, é
\theta = \arctan\!\Bigl(\tfrac{3/5}{3\sqrt{3}/5}\Bigr) = \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) = \tfrac{\pi}{6}.

Passo 3

Pela Fórmula de De Moivre,
z^{21} = \bigl(r\,e^{j\theta}\bigr)^{21} = r^{21}\,e^{\,j\,21\theta} = \Bigl(\tfrac{6}{5}\Bigr)^{21}\,e^{\,j\,21\frac{\pi}{6}}.
Simplificando o ângulo:
21\cdot\tfrac{\pi}{6} = \tfrac{21\pi}{6} = 3\pi + \tfrac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad e^{j(3\pi + \pi/2)} = e^{j3\pi}\,e^{j\pi/2} = (-1)^3\cdot j = -\,j.
Logo
z^{21} = \Bigl(\tfrac{6}{5}\Bigr)^{21}\,(-j).

Passo 4

Calculando numericamente
\Bigl(\tfrac{6}{5}\Bigr)^{21} \approx 46{,}1
portanto
z^{21} \approx -\,j\,46{,}1.
Entre as opções oferecidas, a que melhor coincide é -46\,j.

Resposta

(b) -46\,j

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