Questão 1: Considere a função
g(x, y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}} .
a) Determine o domínio da função e represente graficamente.
b) Determine o conjunto imagem dessa função.

Passo 1

O enunciado define
g(x,y)=\sqrt{9 - x^2 - y^2}\,.
Preciso (a) encontrar todos os pares (x,y) para os quais o radicando é não-negativo (domínio) e desenhar essa região no plano e (b) determinar todos os valores que g pode assumir (imagem).

Passo 2

Para o domínio devemos ter
9 - x^2 - y^2 \ge 0
ou seja,
x^2 + y^2 \le 9\,.
Portanto o domínio é o conjunto \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \le 9\}.

Passo 3

Graficamente, a condição x^2 + y^2 \le 9 descreve o disco fechado de raio 3 centrado na origem no plano xy.

Passo 4

Como g(x,y)=\sqrt{9 - x^2 - y^2}, seus valores são sempre não‐negativos.
  • No centro (0,0) temos g(0,0)=\sqrt{9}=3, valor máximo.
  • Na borda, onde x^2+y^2=9, temos g=0, valor mínimo.
    Logo o conjunto imagem é [0,3].

Resposta

Domínio: \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \le 9\}, ou seja, o disco fechado de raio 3 centrado na origem.
Imagem: [0,3].

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