1. Calcule a potência do número complexo. Apresente sua resposta na forma a+j b.
    (-1+j)^{10}
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência do número complexo (-1 + j)^{10}. O conteúdo é manipulação de números complexos via forma polar e o Teorema de De Moivre, que permite elevar um número complexo a um expoente usando módulo e argumento.

Passo 2

Escrevemos z = -1 + j em forma polar. Primeiro, o módulo:
r = |z| = \sqrt{(-1)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}.
Em seguida, o argumento \theta. Como a parte real é negativa e a imaginária positiva, z está no segundo quadrante, e
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{-1}\bigr) + \pi = -\tfrac{\pi}{4} + \pi = \tfrac{3\pi}{4}.

Passo 3

Portanto, em forma polar temos
z = \sqrt{2}\,e^{j\frac{3\pi}{4}}.

Passo 4

Aplicando o Teorema de De Moivre para elevar ao décimo:
z^{10} = \bigl(\sqrt{2}\bigr)^{10}\,e^{j\,10\cdot\frac{3\pi}{4}} = 2^{5}\,e^{j\frac{30\pi}{4}} = 32\,e^{j\frac{15\pi}{2}}.

Passo 5

Reduzimos o ângulo \tfrac{15\pi}{2} módulo 2\pi:
\tfrac{15\pi}{2} - 4\pi = \tfrac{15\pi - 8\pi}{2} = \tfrac{7\pi}{2}, \quad \tfrac{7\pi}{2} - 2\pi = \tfrac{7\pi - 4\pi}{2} = \tfrac{3\pi}{2}.
Então
e^{j\frac{15\pi}{2}} = e^{j\frac{3\pi}{2}} = \cos\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) + j\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) = 0 - j.
Logo,
z^{10} = 32 \times (-j) = -32j.

Resposta

0 - j32

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