Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n \pi}{3 n+2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n\pi}{3n+2}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar dois testes: (i) teste de convergência absoluta comparando com a série harmônica e (ii) teste da série alternada (Leibniz).

Passo 2

Usando a identidade
\cos n\pi = (-1)^n,
podemos reescrever a série como
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{3n+2}.
Definimos então b_n = \tfrac{1}{3n+2}. A série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n b_n,
uma série alternada.

Passo 3

Para verificar convergência absoluta, considerei
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|(-1)^n \tfrac{1}{3n+2}\bigr| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n+2}.
Como para todo n\ge1 vale
\frac{1}{3n+2}\ge \frac{1}{3n+3}=\frac{1}{3}\,\frac{1}{n+1},
e \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1} diverge (série harmônica), por comparação concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n+2}
diverge. Logo a série não é absolutamente convergente.

Passo 4

Para o teste de Leibniz (séries alternadas) precisamos de três condições sobre b_n:
  1. b_n>0.
  2. b_{n+1}<b_n (monotonia decrescente).
  3. \lim_{n\to\infty}b_n=0.
Aqui
b_n=\frac{1}{3n+2}>0,
é claramente decrescente em n e
\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3n+2}=0.
Portanto, pela série alternada de Leibniz,
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n b_n
converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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