Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+2 \operatorname{sen} n}{n^{3}}
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+2\sin n}{n^{3}}
e pede para classificá-la como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Aqui vamos usar o teste de comparação com a série-p \sum 1/n^{p}, que converge sempre que p>1.
Passo 2
Analisamos a convergência absoluta, ou seja, estudamos
E como \sum_{n=1}^{\infty}3/n^{3}=3\sum_{n=1}^{\infty}1/n^{3} converge (é uma série-p com p=3>1), pelo teste de comparação a série das normas converge.
Passo 3
Como \sum|a_{n}| converge, a série original \sum a_{n} converge absolutamente.