Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+2 \operatorname{sen} n}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+2\sin n}{n^{3}}
e pede para classificá-la como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Aqui vamos usar o teste de comparação com a série-p \sum 1/n^{p}, que converge sempre que p>1.

Passo 2

Analisamos a convergência absoluta, ou seja, estudamos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{1+2\sin n}{n^{3}}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\bigl|1+2\sin n\bigr|}{n^{3}}.
Como \bigl|\sin n\bigr|\le1, temos
\bigl|1+2\sin n\bigr|\le1+2\bigl|\sin n\bigr|\le1+2=3.
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\frac{\bigl|1+2\sin n\bigr|}{n^{3}}\le\frac{3}{n^{3}}.
E como \sum_{n=1}^{\infty}3/n^{3}=3\sum_{n=1}^{\infty}1/n^{3} converge (é uma série- p com p=3>1), pelo teste de comparação a série das normas converge.

Passo 3

Como \sum|a_{n}| converge, a série original \sum a_{n} converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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