Determine 2 z / a x e 2 z / a y em:
x^{3}+y^{3}+z^{3}+6 x y z=1 .

Passo 1

O enunciado define implicitamente z como função de x e y pela equação
x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz=1.
O conteúdo aqui é diferenciação implícita em várias variáveis. Para encontrar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} usamos a condição
F(x,y,z)\;=\;x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz-1\;=\;0
e aplicamos \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} mantendo F=0.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de F:
\frac{\partial F}{\partial x} =3x^{2}+6yz, \qquad \frac{\partial F}{\partial y} =3y^{2}+6xz, \qquad \frac{\partial F}{\partial z} =3z^{2}+6xy.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, derivamos F(x,y,z(x,y))=0 em relação a x:
\frac{\partial F}{\partial x} +\frac{\partial F}{\partial z}\,\frac{\partial z}{\partial x} =0 \;\Longrightarrow\; \frac{\partial z}{\partial x} =-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}} =-\frac{3x^{2}+6yz}{3z^{2}+6xy} =-\frac{x^{2}+2yz}{z^{2}+2xy}.

Passo 4

De modo análogo, para \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} derivamos em relação a y:
\frac{\partial F}{\partial y} +\frac{\partial F}{\partial z}\,\frac{\partial z}{\partial y} =0 \;\Longrightarrow\; \frac{\partial z}{\partial y} =-\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}} =-\frac{3y^{2}+6xz}{3z^{2}+6xy} =-\frac{y^{2}+2xz}{z^{2}+2xy}.

Resposta

\boxed{ \frac{\partial z}{\partial x} =-\frac{x^{2}+2yz}{\,z^{2}+2xy\,}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} =-\frac{y^{2}+2xz}{\,z^{2}+2xy\,}. }

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