Determinar a potência do motor de acionamento e o diâmetro e o curso dos cilindros de um compressor alternativo de dois estágios destinado a comprimir 21 \mathrm{kgf} / \mathrm{h} de ar até uma pressão efetiva de 175 psig, com as seguintes características:
\eta_{\text {MEC }}=0,8
refrigeração a ar por meio de aletas ( n=1,25, expoente politrópico)
número de efeitos =1
número de cilindros por estágio =1
rotação de 455rpm
clearance=7%
pressão do fluido a aspirar= 1,0333 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}
temperatura do fluido a aspirar =27^{\circ} \mathrm{C}
Dica: Calcule o número de estágios mínimo respeitando a razão máxima de compressão por estágio ( \mathrm{r}=4 ).

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a potência do motor de acionamento e o diâmetro e o curso (stroke) dos cilindros de um compressor alternativo de dois estágios, com as seguintes informações dadas:
\begin{aligned} &\dot m=21\\ \mathrm{kg/h},\\\ &\eta_{\text{MEC}}=0{,}8,\\\ &\text{refrigeração por aletas: }n=1{,}25\\ (\text{exponente politrópico}),\\\ &\text{nº de efeitos (intercoolers)}=1,\\\ &\text{cilindros por estágio}=1,\\\ &N=455\\ \mathrm{rpm},\\\ &\text{clearance }c=7\%=0{,}07,\\\ &P_{\text{asp}}=1{,}0333\\ \mathrm{kgf/cm^2}\\ (\text{sucção}),\\\ &T_{\text{asp}}=27^\circ\mathrm{C}=300{,}15\\ \mathrm{K},\\\ &\text{pressão efetiva (descarga gauge)}=175\\ \mathrm{psig}. \end{aligned}çãóºáçãã
O enunciado dá também uma dica: calcular o número mínimo de estágios respeitando a razão máxima de compressão por estágio r_{\max}=4.
Observações importantes que vamos usar (sem resolver ainda): precisamos trabalhar com pressões absolutas; converter 175\\ \mathrm{psig} para pressão absoluta e a mesma unidade de P_{\text{asp}}; se houver intercooler (1 efeito) assumimos resfriamento até a temperatura de aspiração entre estágios (ou seja, a temperatura de entrada de cada estágio será T_{\text{asp}}); o compressor é de um cilindro por estágio (cada cilindro deve atender ao mesmo caudal mássico \dot m). A partir daqui vamos calcular passo a passo.

Passo 2

Converter pressões para unidades absolutas compatíveis (usar 1\\ \mathrm{kgf/cm^2}=98066{,}5\\ \mathrm{Pa} ou converter via psi).
  1. Converter a descarga 175\\ \mathrm{psig} para pressão absoluta em \mathrm{kgf/cm^2}:
  • pressão atmosférica dada em \mathrm{kgf/cm^2} é P_{\text{atm}}=1{,}0333\\ \mathrm{kgf/cm^2}.
  • 175\\ \mathrm{psig} é gauge, então a pressão absoluta em kgf/cm ^2 é
P_2 = P_{\text{atm}} + \frac{175\\ \mathrm{psi}}{14{,}2233\\ \mathrm{psi/(kgf/cm^2)}} =1{,}0333 + \frac{175}{14{,}2233}.
Calculemos numericamente:
\frac{175}{14{,}2233}\approx12{,}302,
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P_2\approx1{,}0333+12{,}302=13{,}3353\\ \mathrm{kgf/cm^2}.
  1. Pressão de sucção em Pa e pressão de descarga em Pa (para usar nas fórmulas de gás ideal):
P_1 = 1{,}0333\\ \mathrm{kgf/cm^2}\times98066{,}5\\ \mathrm{Pa/(kgf/cm^2)}=101325\\ \mathrm{Pa}
(observação: isso confirma que 1{,}0333\\ \mathrm{kgf/cm^2} é a pressão atmosférica padrão),
P_2 = 13{,}3353\\ \mathrm{kgf/cm^2}\times98066{,}5\\ \mathrm{Pa/(kgf/cm^2)}\approx1{,}307{,}680\\ \mathrm{Pa}.
  1. Relação total de compressão:
r_{\text{tot}}=\frac{P_2}{P_1}\approx\frac{1{,}307{,}680}{101{,}325}\approx12{,}90.

Passo 3

Determinar o número mínimo de estágios respeitando r_{\max}=4.
  • Se tivermos m estágios com razões iguais por estágio r_s, então
r_s = r_{\text{tot}}^{1/m}.
Queremos o menor m tal que r_s\le 4. Então
m \ge \frac{\ln r_{\text{tot}}}{\ln 4}.
Calcule:
\frac{\ln 12{,}90}{\ln 4}\approx\frac{2{,}557}{1{,}386}\approx1{,}846\Rightarrow m_{\min}=2.
Portanto dois estágios são suficientes e compatíveis com a indicação do enunciado.

Passo 4

Definir modelo de compressão e fórmulas de trabalho politrópico por kg.
Para uma compressão politrópica (exponente n), o trabalho específico (por unidade de massa) para compressão de P_a a P_b com temperatura de entrada T_a é dado por (se considerarmos ar ideal com constante específica R):
w = \frac{n}{n-1}\,R\,T_a\left[\left(\frac{P_b}{P_a}\right)^{\frac{n-1}{n}}-1\right].
Explicando cada termo:
  • w é o trabalho específico (energia por unidade de massa) em \mathrm{J/kg}.
  • n é o expoente politrópico ( n=1{,}25 dado).
  • R é a constante específica do ar: R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • T_a é a temperatura absoluta na entrada da compressão em K.
  • P_b/P_a é a razão de pressão do estágio.
Observação: com intercooler (1 efeito) e resfriamento até T_{\text{asp}}, a temperatura de entrada dos dois estágios é T_1=T_{\text{asp}}=300{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular a razão de pressão por estágio (razão igualitária) e o trabalho específico por estágio.
  1. Razão por estágio para m=2:
r_s = r_{\text{tot}}^{1/2}=\sqrt{12{,}90}\approx3{,}593.
  1. Calcular o fator \dfrac{n-1}{n} e a potência desse r_s:
\frac{n-1}{n}=\frac{1{,}25-1}{1{,}25}=\frac{0{,}25}{1{,}25}=0{,}2.
Então
r_s^{(n-1)/n}=r_s^{0{,}2}=3{,}593^{0{,}2}\approx1{,}291.
  1. Aplicar a fórmula do trabalho específico por estágio (entrada a T_1):
w_{\text{est}}=\frac{n}{n-1}R T_1\left[r_s^{(n-1)/n}-1\right].
Calcule os fatores:
\frac{n}{n-1}=\frac{1{,}25}{0{,}25}=5.
Com R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} e T_1=300{,}15\\ \mathrm{K}:
w_{\text{est}}=5\cdot287\cdot300{,}15\cdot(1{,}291-1).
Compute passo a passo:
287\cdot300{,}15\approx86143{,}05,
1{,}291-1=0{,}291,
86143{,}05\cdot0{,}291\approx25067{,}6,
w_{\text{est}}=5\cdot25067{,}6\approx125338\\ \mathrm{J/kg}.
  1. Trabalho total específico (dois estágios com intercooler e mesmas condições por estágio) será o dobro:
w_{\text{total}}=2\cdot w_{\text{est}}\approx2\cdot125338\approx250676\\ \mathrm{J/kg}.

Passo 6

Calcular a potência indicada (teórica) e a potência do motor considerando eficiência mecânica.
  1. Converter vazão mássica para \mathrm{kg/s}:
\dot m=\frac{21\\ \mathrm{kg}}{3600\\ \mathrm{s}}=0{,}0058333\\ \mathrm{kg/s}.
  1. Potência indicada total:
\dot W_{\text{ind}}=\dot m\cdot w_{\text{total}} \approx0{,}0058333\cdot250676\approx1460{,}6\\ \mathrm{W}.
  1. Potência útil no motor (considerando eficiência mecânica \eta_{\text{MEC}}=0{,}8):
\dot W_{\text{motor}}=\frac{\dot W_{\text{ind}}}{\eta_{\text{MEC}}} \approx\frac{1460{,}6}{0{,}8}\approx1825{,}8\\ \mathrm{W}\approx1{,}826\\ \mathrm{kW}.
Comentário encorajador: já temos a potência do motor — cerca de 1{,}83\\ \mathrm{kW}. Agora vamos dimensionar os cilindros para fornecer o caudal volumétrico necessário em cada estágio.

Passo 7

Calcular o caudal volumétrico na sucção e entre estágios (condições de entrada de cada estágio).
Usamos a equação do gás ideal para obter as vazões volumétricas de entrada em cada estágio:
\dot V = \frac{\dot m R T}{P}.
Com R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} e T=300{,}15\\ \mathrm{K}.
  1. Vazão volumétrica na sucção (entrada do 1.º estágio):
\dot V_1=\frac{0{,}0058333\cdot287\cdot300{,}15}{101325}\approx0{,}004958\\ \mathrm{m^3/s}.
  1. Pressão intermediária (saída estágio 1 / entrada estágio 2):
P_{\text{int}}=P_1\cdot r_s \approx101325\cdot3{,}593\approx364{,}111\\ \mathrm{Pa}.
  1. Vazão volumétrica na entrada do 2.º estágio:
\dot V_2=\frac{0{,}0058333\cdot287\cdot300{,}15}{364{,}111}\approx0{,}001381\\ \mathrm{m^3/s}.
(Observação: \dot V_2\approx \dot V_1/r_s, como era esperado.)

Passo 8

Calcular a eficiência volumétrica de cada estágio considerando o clearance c.
Fórmula do efeito do clearance para processo politrópico: a eficiência volumétrica (fracção do volume teorico consumido) é
\eta_v = 1 + c - c\left(\frac{P_d}{P_s}\right)^{1/n}.
Explicação: após descarga, o gás residual no clearance se expande politropicamente de P_d até P_s; o termo subtrai o volume efetivamente perdido.
Para ambos os estágios, P_d/P_s=r_s (porque usamos divisão igual por estágio), então o termo \left(\dfrac{P_d}{P_s}\right)^{1/n}=r_s^{1/n}. Com r_s^{1/n}=3{,}593^{1/1{,}25}=3{,}593^{0{,}8}\approx2{,}778.
Logo:
\eta_{v1}=\eta_{v2}=1+0{,}07-0{,}07\cdot2{,}778\approx1{,}07-0{,}1945\approx0{,}8755.

Passo 9

Relacionar deslocamento volumétrico por ciclo ao caudal requerido e encontrar o volume varrido por ciclo.
Para um compressor alternativo simples (single-acting) cada revolução fornece um curso de sucção. A vazão volumétrica de projeto relaciona-se com o volume varrido por revolução V_s por:
\dot V = V_s\cdot\frac{N}{60}\cdot\eta_v,
onde N é a rotação em rpm. Assim
V_s=\frac{\dot V \cdot 60}{N\cdot\eta_v}.
Calcule V_{s1} e V_{s2}:
  1. Para o 1.º estágio:
V_{s1}=\frac{0{,}004958\cdot60}{455\cdot0{,}8755}\approx0{,}0007476\\ \mathrm{m^3\\ por\\ ciclo}.
  1. Para o 2.º estágio:
V_{s2}=\frac{0{,}001381\cdot60}{455\cdot0{,}8755}\approx0{,}0002081\\ \mathrm{m^3\\ por\\ ciclo}.

Passo 10

Escolher uma relação curso/diâmetro e calcular diâmetro e curso. (Escolha prática e justificativa)
  • Não foi dada uma relação curso/diâmetro (L/D) no enunciado. Uma escolha comum e simples para projeto inicial é L=D (curso igual ao diâmetro), que facilita cálculo e costuma ser razoável para pequenos compressores. Vou usar L=D. Se você preferir outro L/D, o procedimento é análogo: usar V_s=(\pi/4)D^2 L e substituir L=kD para achar D.
Usando L=D:
V_s=\frac{\pi}{4}D^2L=\frac{\pi}{4}D^3 \quad\Rightarrow\quad D=\left(\frac{4V_s}{\pi}\right)^{1/3}.
Calcular numericamente:
  1. Para o 1.º estágio:
\frac{4V_{s1}}{\pi}= \frac{4\cdot0{,}0007476}{\pi}\approx0{,}0009517,
D_1=\left(0{,}0009517\right)^{1/3}\approx0{,}0987\\ \mathrm{m}=98{,}7\\ \mathrm{mm},
e L_1=D_1\approx98{,}7\\ \mathrm{mm}.
  1. Para o 2.º estágio:
\frac{4V_{s2}}{\pi}= \frac{4\cdot0{,}0002081}{\pi}\approx0{,}0002649,
D_2=\left(0{,}0002649\right)^{1/3}\approx0{,}0642\\ \mathrm{m}=64{,}2\\ \mathrm{mm},
e L_2=D_2\approx64{,}2\\ \mathrm{mm}.
Observação: esses valores são para cilindros single-acting, 1 cilindro por estágio, rotação 455\\ \mathrm{rpm}, clearance 7\% e assumindo retorno térmico pelo intercooler à temperatura de sucção. Se preferir outra relação L/D, ou se quiser arredondar para diâmetros-padrão comerciais, basta ajustar L e D proporcionalmente.

Passo 11

Resumo dos valores calculados e verificação rápida de consistência:
  • Trabalho específico por estágio w_{\text{est}}\approx125{,}338\\ \mathrm{J/kg}.
  • Trabalho total específico w_{\text{total}}\approx250{,}676\\ \mathrm{J/kg}.
  • Potência indicada total \dot W_{\text{ind}}\approx1{,}461\\ \mathrm{kW}.
  • Potência do motor (com \eta_{\text{MEC}}=0{,}8) \dot W_{\text{motor}}\approx1{,}826\\ \mathrm{kW}.
  • Diâmetros e cursos (assumindo L=D):
    • 1.º estágio: D_1\approx98{,}7\\ \mathrm{mm},\\ L_1\approx98{,}7\\ \mathrm{mm}.
    • 2.º estágio: D_2\approx64{,}2\\ \mathrm{mm},\\ L_2\approx64{,}2\\ \mathrm{mm}.
Parabéns — você já tem potência e dimensões iniciais para os cilindros. Se precisar, a próxima etapa é escolher diâmetros-padrão comerciais e ajustar o curso para obter uma relação L/D prática (p.ex. L/D=1{,}0 a 1{,}6 são comuns), checar velocidades médias do pistão, e revisar perdas (eficiência volumétrica real com válvulas, rendimento do intercooler, etc.).

Resposta

Potência do motor: 1{,}826\\ \mathrm{kW}
1.º estágio — diâmetro: D_1=98{,}7\\ \mathrm{mm}, curso: L_1=98{,}7\\ \mathrm{mm}
2.º estágio — diâmetro: D_2=64{,}2\\ \mathrm{mm}, curso: L_2=64{,}2\\ \mathrm{mm}

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