Calcular a vazão mássica de um compressor alternativo lubrificado monocilíndrico, comprimindo um gás natural com as seguintes características:
Rotação: 1.200 rpm ; Diâmetro do cilindro: 13 in ; Diâmetro da haste: 2^{1 / 2} \mathrm{in}; Curso do pistão: 9in; Tipo do efeito: duplo; Clearance do lado da tampa: 25 \%; Clearance do lado da haste: 11 \%; Pressão de admissão manométrica: 400 kPa ; Pressão de descarga manométrica: 1.200 kPa ; Temperatura do gás na admissão: 32^{\circ} \mathrm{C}; Massa molecular do gás natural: 17,5 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}; fator de compressibilidade na admissão: 0,95 ; fator de compressibilidade na descarga: 0,91 ; expoente adiabático do gás: 1,275 .

Passo 1

O enunciado pede a vazão mássica do compressor. Informações dadas (tudo convertido para notação matemática):
\begin{aligned} &\text{Rotação: }N=1200\\ \text{rpm}\\\ &\text{Diâmetro do cilindro: }D=13\\ \text{in}\\\ &\text{Diâmetro da haste: }d=\sqrt{2}\\ \text{in}\\\ &\text{Curso do pistão: }L=9\\ \text{in}\\\ &\text{Tipo: compressor alternativo lubrificado, monocilíndrico, efeito duplo}\\\ &\text{Clearance lado tampa: }C_t=25\%=0,25\\\ &\text{Clearance lado haste: }C_h=11\%=0,11\\\ &\text{Pressão de admissão (manométrica): }p_{1,\text{man}}=400\\ \text{kPa}\\\ &\text{Pressão de descarga (manométrica): }p_{2,\text{man}}=1200\\ \text{kPa}\\\ &\text{Temperatura de admissão: }T_1=32^\circ\text{C}\\\ &\text{Massa molar do gás natural: }M=17,5\\ \text{g/mol}=0,0175\\ \text{kg/mol}\\\ &\text{Fator de compressibilidade admissão: }Z_1=0,95\\\ &\text{Fator de compressibilidade descarga: }Z_2=0,91\\\ &\text{Expoente adiabático (ou politrópico usado): }n=1,275 \end{aligned}çãââãíããéãéãáãáó
Observações importantes extraídas do enunciado:
  • As pressões foram fornecidas como “manométricas” (isto é, em relação à atmosfera). Para cálculos termodinâmicos usaremos pressões absolutas somando a pressão atmosférica \;p_{atm}=101{,}3\\ \text{kPa}.
  • Por ser efeito duplo, num giro do virabrequim ocorrem duas sucções: uma do lado da tampa e outra do lado da haste. Cada revolução fornece uma admissão em cada lado (uma admissão por lado por revolução).
  • As áreas nos dois lados são diferentes por causa da haste; portanto o volume de varrido (swept volume) é diferente em cada lado e as eficiências volumétricas são calculadas separadamente.

Passo 2

Vamos converter dimensões para SI e calcular as áreas e volumes varridos.
Conversões:
\begin{aligned} &1\\ \text{in}=0{,}0254\\ \text{m}\\\ &D=13\\ \text{in}=13\cdot 0{,}0254=0{,}3302\\ \text{m}\\\ &d=\sqrt{2}\\ \text{in}=\sqrt{2}\cdot 0{,}0254=0{,}035945\\ \text{m}\\\ &L=9\\ \text{in}=9\cdot 0{,}0254=0{,}2286\\ \text{m} \end{aligned}
Área da face do pistão (lado sem haste):
A_{full}=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi\,(0{,}3302)^2}{4}=0{,}085664\\ \text{m}^2
Área ocupada pela haste:
A_{rod}=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi\,(0{,}035945)^2}{4}=0{,}001014\\ \text{m}^2
Área do lado da haste (área efetiva de admissão quando o pistão aspira no lado da haste):
A_{side}=A_{full}-A_{rod}=0{,}085664-0{,}001014=0{,}084650\\ \text{m}^2
Volumes varridos (swept volumes) por stroke:
\begin{aligned} &V_{t}=A_{full}\,L=0{,}085664\cdot 0{,}2286=0{,}019589\\ \text{m}^3\quad(\text{lado tampa})\\[4pt] &V_{h}=A_{side}\,L=0{,}084650\cdot 0{,}2286=0{,}019346\\ \text{m}^3\quad(\text{lado haste}) \end{aligned}
Comentários didáticos rápidos: o “volume varrido” é o volume que o pistão desloca entre os pontos mortos (TDC e BDC) numa face. No lado da haste o volume é um pouco menor porque a haste ocupa área.]

Passo 3

Vamos transformar as pressões para absolutas e discutir a eficiência volumétrica com clearance.
Pressões absolutas:
\begin{aligned} &p_1 = p_{1,\text{man}} + p_{atm} = 400 + 101{,}3 = 501{,}3\\ \text{kPa}=501300\\ \text{Pa}\\[4pt] &p_2 = p_{2,\text{man}} + p_{atm} = 1200 + 101{,}3 = 1301{,}3\\ \text{kPa}=1301300\\ \text{Pa} \end{aligned}
O efeito do clearance: ao final da compressão fica um volume residual (clearance) que se reexpande quando a pressão cai, reduzindo a quantidade de gás admitida no próximo curso. Uma fórmula prática muito usada para a eficiência volumétrica de um estágio com clearance é:
\eta_v = 1 + C - C\left(\dfrac{p_2^\ast}{p_1^\ast}\right)^{1/n}
onde:
  • C é a razão de clearance (clearance volume dividido pelo swept volume);
  • p_2^\ast/p_1^\ast é a razão de pressões relevante para a reexpansão. Para gás real usamos os fatores de compressibilidade para considerar não-idealidade, tomando a razão efetiva como \dfrac{p_2 Z_2}{p_1 Z_1};
  • n é o expoente politrópico (aqui fornecido como 1{,}275).
Justificativa didática curta: o termo \left(\dfrac{p_2^\ast}{p_1^\ast}\right)^{1/n} vem da relação politrópica p V^n= constante (ou sua forma adaptada para gás real usando Z). Assim a reexpansão do volume de clearance até a pressão de sucção usa essa razão de pressão elevada a 1/n.
Aplicamos essa fórmula separadamente para os dois lados, usando C_t no lado da tampa e C_h no lado da haste, e com a razão de pressões adaptada para Z.]

Passo 4

Calcular a razão efetiva de pressões com compressibilidade e sua potência 1/n:
r=\frac{p_2 Z_2}{p_1 Z_1}=\frac{1301300\cdot 0{,}91}{501300\cdot 0{,}95}
Calculemos numericamente:
\begin{aligned} &\text{numerador}=1301300\cdot 0{,}91=1184183\\ \text{Pa}\\\ &\text{denominador}=501300\cdot 0{,}95=476235\\ \text{Pa}\\[4pt] &r=\frac{1184183}{476235}=2{,}487 \end{aligned}
Potência:
r^{1/n}=2{,}487^{1/1{,}275}=2{,}487^{0{,}7843137}=2{,}042
Explicação: elevamos à potência 1/n porque estamos invertendo a relação pV^n= const para encontrar a fração de volume reexpansível do clearance.]

Passo 5

Calcular as eficiências volumétricas de cada lado usando \eta_v=1+C-C\;r^{1/n}.
Lado tampa ( C=0{,}25):
\eta_{v,t}=1+0{,}25-0{,}25\cdot 2{,}042=1{,}25-0{,}5105=0{,}7395
Lado haste ( C=0{,}11):
\eta_{v,h}=1+0{,}11-0{,}11\cdot 2{,}042=1{,}11-0{,}2246=0{,}8854
Interpretação: a eficiência volumétrica do lado da haste é maior porque o clearance é menor; as eficiências ficam entre 0 e 1 como esperado.

Passo 6

Agora calculamos a densidade do gás na admissão usando equação dos gases reais com o fator de compressibilidade:
Fórmula usada:
\rho_1=\frac{p_1}{Z_1 R_{sp} T_1}
onde
R_{sp}=\frac{R_u}{M}
e R_u=8{,}314462618\\ \text{J/(mol·K)}, M=0{,}0175\\ \text{kg/mol}, T_1=32^\circ\text{C}=305{,}15\\ \text{K}.
Cálculo de R_{sp}:
R_{sp}=\frac{8{,}314462618}{0{,}0175}=475{,}112\\ \text{J/(kg·K)}
Denominador Z_1 R_{sp} T_1:
Z_1 R_{sp} T_1=0{,}95\cdot 475{,}112\cdot 305{,}15=137731{,}3\\ \text{(unidades: Pa·m}^3\text{/kg)}
Então:
\rho_1=\frac{501300}{137731{,}3}=3{,}639\\ \text{kg/m}^3
Explicação: usamos o fator Z_1 no denominador porque a equação dos gases reais aproximada é pV=Z n R_u T, levando à densidade \rho = p/(Z R_{sp} T).

Passo 7

Calcular a massa admitida por revolução (uma admissão por lado por revolução):
Massa admitida por admissão no lado tampa:
m_{t,\text{por stroke}}=\rho_1\;\eta_{v,t}\;V_t
Massa admitida por admissão no lado haste:
m_{h,\text{por stroke}}=\rho_1\;\eta_{v,h}\;V_h
Compute numericamente:
\begin{aligned} &\eta_{v,t}V_t=0{,}7395\cdot 0{,}019589=0{,}014480\\ \text{m}^3\\[4pt] &\eta_{v,h}V_h=0{,}8854\cdot 0{,}019346=0{,}017126\\ \text{m}^3 \end{aligned}
Soma do volume efetivo por revolução:
V_{\text{efetivo por rev}}=0{,}014480+0{,}017126=0{,}031606\\ \text{m}^3/\text{rev}
Massa por revolução:
m_{\text{por rev}}=\rho_1\;V_{\text{efetivo por rev}}=3{,}639\cdot 0{,}031606=0{,}115053\\ \text{kg/rev}
Explicação: por revolução há uma admissão no lado tampa e uma no lado haste; somamos as massas admitidas de ambos.]

Passo 8

Calcular a vazão mássica total usando a rotação N:
Número de revoluções por segundo:
N_{\text{rev/s}}=\frac{N}{60}=\frac{1200}{60}=20\\ \text{rev/s}
Vazão mássica:
\dot{m}=m_{\text{por rev}}\cdot N_{\text{rev/s}}=0{,}115053\cdot 20=2{,}30106\\ \text{kg/s}
Também podemos exprimir em kg/min:
\dot{m}_{\text{(kg/min)}}=2{,}30106\cdot 60=138{,}064\\ \text{kg/min}
Interpretação: esse é o fluxo de massa admitido pelo compressor nas condições de admissão dadas, já levando em conta clearance, compressibilidade e diferenças de área entre os lados.

Passo 9

Resumo didático final e checagem rápida:
  • Principais passos aplicados: cálculo de volumes varridos, correção de pressão para absoluta, uso de fator de compressibilidade para densidade, uso da fórmula prática de eficiência volumétrica com reexpansão politrópica e soma das contribuições dos dois lados (efeito duplo).
  • Ordem de magnitude faz sentido: massa específica \sim 3{,}6\\ \text{kg/m}^3, volume efetivo por rev \sim 0{,}032\\ \text{m}^3 → cerca de 0{,}115\\ \text{kg/rev} → com 20\\ \text{rev/s} 2{,}30\\ \text{kg/s}. Tudo consistente.

Resposta

\dot{m}=2,30\\ \mathrm{kg/s}

Exercícios relacionados