Calcule o potencial associado às seguintes forças conservativas:

Passo 1

Beleza! A gente tem um campo de força
F(x,y,z) = l(2x + y^2r),hat x ;+; 2xy,hat y ;+; z^2,hat z
e o objetivo é encontrar uma função potencial nabla phi = F tal que
Isso faz parte de “campo conservativo” e “potencial”, e para resolver precisamos usar derivadas parciais e integrações simples.

Passo 2

Primeiro, lembrando que
nabla phi = l(partial phipartial x,;partial phipartial y,;partial phipartial zr),
temos:
partial phipartial x = 2x + y^2
Então, integramos em relação a phi(x,y,z) = integral (2x + y^2),dx = x^2 + x,y^2 + g(y,z), :
onde é uma “constante” de integração que pode depender de e .

Passo 3

Agora usamos a segunda componente de partial phipartial y = partialpartial yl(x^2 + x,y^2 + g(y,z)r) = 2x,y + partial gpartial y :
2x,y + partial gpartial y = 2x,y Longrightarrow partial gpartial y = 0
Mas sabemos que isso deve dar . Logo
Isso significa que não depende de , só de : .

Passo 4

Finalmente, usamos a terceira componente:
partial phipartial z = partialpartial zl(x^2 + x,y^2 + h(z)r) = h'(z)
Mas essa derivada deve ser h'(z) = z^2 Longrightarrow h(z) = integral z^2,dz = z^33 + C, . Então
onde é uma constante.

Resposta

Juntando tudo, a função potencial é
boxed phi(x,y,z) = x^2 + x,y^2 + z^33 + C

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