Duas pequenas esferas idênticas de massa m estão carregadas com carga q e suspensas por fios isolantes de massas desprezíveis e de comprimento l estão em equilíbrio. Sendo 2theta o ângulo de abertura resultante entre fios.
Mostre que
q^2=4 l^2 P sin ^2 theta tan thetakappa
sendo kappa=1 / 4 pi epsilon0 approx 8,99 times 10^9 Nm^2 / C^2 a constante da lei de Coulomb, P=m g a magnitude da força peso das cargas q e g approx 9,81 m / s^2 a aceleração da gravidade.

Passo 1

O exercício diz que temos duas esferas idênticas, cada uma de massa e carga , penduradas por fios de comprimento . Elas ficam em equilíbrio afastadas pelo ângulo .
Conteúdo: equilíbrio de forças (vertical e horizontal) + Lei de Coulomb + trigonometria.
O que vamos usar:
  1. Balanço de forças no equilíbrio (soma de forças = 0).
  2. Força peso .
  3. Tensão no fio e decomposição em componentes vertical e horizontal.
  4. Força elétrica de repulsão , com .

Passo 2

Desenhando as forças em uma das esferas:
  • Peso para baixo: .
  • Tensão no fio, , na direção do fio (ângulo da vertical).
  • Força elétrica de repulsão na horizontal, apontando para fora (afastando as esferas).
Como o sistema está em equilíbrio, a soma das componentes vertical e horizontal da força resultante é zero.

Passo 3

  1. Equilíbrio vertical (somente componente vertical de Tcostheta = P equilibra o peso):
T = Pcostheta
Assim
Tsintheta = Fe
  1. Equilíbrio horizontal (componente horizontal de Fe = kappa,q^2r^2, equilibra r = 2,lsintheta Longrightarrow r^2 = 4,l^2sin^2theta ):
Fe = kappa,q^24,l^2sin^2theta
Mas a força elétrica de repulsão entre as cargas é
Pcostheta,sintheta = kappa,q^24,l^2sin^2theta
e a distância entre as esferas é
Logo
Substituindo e em :

Passo 4

Agora é só isolar P,tantheta = kappa,q^24,l^2sin^2theta Longrightarrow q^2 = 4,l^2,P,sin^2theta,tanthetakappa :

Resposta

boxedq^2=4,l^2,P,sin^2theta,tanthetakappa

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