Calcule o potencial associado às seguintes forças conservativas:

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado é: “Calcule o potencial associado ao campo conservativo
vec F = l(x^2 + y^2r),hat x ;+; 2xy,hat y
Isso faz parte de “potencial de forças conservativas”. Para resolver a gente vai precisar:
  1. Mostrar que o campo é mesmo conservativo (derivadas cruzadas iguais).
  2. Usar a definição (convenção de física)
vec F = -nabla V,
ou seja
-partial Vpartial x = Fx, -partial Vpartial y = Fy
  1. Integrar cada componente e juntar tudo.

Passo 2

Primeiro, verificar conservatividade:
partial Fxpartial y = partialpartial y(x^2+y^2) = 2y, partial Fypartial x = partialpartial x(2xy) = 2y e .
– Calculo cruzado:
Como , o campo é conservativo e existe .

Passo 3

Escrevemos as equações de definição do potencial:
-partial Vpartial x = Fx = x^2+y^2, -partial Vpartial y = Fy = 2xy

Passo 4

Vamos integrar a primeira equação em relação a partial Vpartial x = -(x^2+y^2) Longrightarrow V(x,y) = -integrall(x^2 + y^2r),dx = -l(x^33 + x,y^2r) + g(y), :
onde é uma “constante” de integração que pode depender só de .

Passo 5

Agora usamos a segunda equação pra achar partial Vpartial y = -l(2xyr) + g'(y) . Primeiro calculemos
-partial Vpartial y = Fy = 2xy ;Longrightarrow; partial Vpartial y = -2xy
Mas a definição pedia
-2xy + g'(y) ;=; -2xy Longrightarrow g'(y)=0 ;Longrightarrow; g(y)=constante
Então comparamos:

Resposta

Podemos então escolher a constante zero e escrever o potencial como
boxedV(x,y) = -l(x^33 + x,y^2r) + C
Geralmente a gente toma V(x,y) = -x^33 ;-; x,y^2 , ficando

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