Duas formigas cada uma com massa m estão na borda de um disco homogêneo de massa 4,00m que pode girar livremente em torno do centro como um carrossel. Inicialmente, as formigas e o disco giram juntos com uma velocidade angular de 0,260rad/s . As formigas caminham até metade da distancia ao centro do disco.
Qual é a razão Kf/K0 entre a nova energia cinética do sistema e a energia cinética inicial?
Qual é a razão Kf/K0 entre a nova energia cinética do sistema e a energia cinética inicial?
Passo 1
Vamos resolver um problema de energia cinética rotacional envolvendo duas formigas e um disco que gira como um carrossel. Nesse exercício, vamos utilizar conceitos de momento de inércia e conservação do momento angular para encontrar a razão entre a energia cinética final e a inicial do sistema.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o momento de inércia inicial do sistema. O momento de inércia (
) é uma medida de quanta energia é necessária para acelerar um objeto em rotação. Para um disco homogêneo, o momento de inércia em torno do seu centro é dado por:
onde
é a massa do disco e
é o raio.
Cada formiga, inicialmente na borda do disco (distância
do centro), tem um momento de inércia:
Como são duas formigas, o momento de inércia total das formigas é:
Portanto, o momento de inércia total inicial (
) do sistema é a soma do momento de inércia do disco e das formigas:
Passo 3
As formigas caminham até metade da distância ao centro, ou seja, passam de
para
. Agora, vamos calcular o momento de inércia final das formigas:
Para as duas formigas:
O momento de inércia final (
) do sistema é:
Passo 4
Como não há torque externo agindo no sistema, o momento angular é conservado. A conservação do momento angular nos dá:
onde
é a velocidade angular inicial e
a final.
Podemos isolar
:
Passo 5
A energia cinética rotacional (
) é dada por:
Calculando a energia cinética inicial (
) e final (
):
Agora, a razão entre a energia cinética final e a inicial é:
Resposta
A razão entre a energia cinética final e a inicial do sistema é:
Portanto, a razão $ \frac{K_f}{K_0} $ é igual a 1,6.