Duas formigas cada uma com massa m estão na borda de um disco homogêneo de massa 4,00m que pode girar livremente em torno do centro como um carrossel. Inicialmente, as formigas e o disco giram juntos com uma velocidade angular de 0,260rad/s . As formigas caminham até metade da distancia ao centro do disco.
Qual é a razão Kf/K0 entre a nova energia cinética do sistema e a energia cinética inicial?

Passo 1

Vamos resolver um problema de energia cinética rotacional envolvendo duas formigas e um disco que gira como um carrossel. Nesse exercício, vamos utilizar conceitos de momento de inércia e conservação do momento angular para encontrar a razão entre a energia cinética final e a inicial do sistema.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o momento de inércia inicial do sistema. O momento de inércia ( I) é uma medida de quanta energia é necessária para acelerar um objeto em rotação. Para um disco homogêneo, o momento de inércia em torno do seu centro é dado por:
Idisco = 12 M R^2
onde M é a massa do disco e R é o raio.
Cada formiga, inicialmente na borda do disco (distância R do centro), tem um momento de inércia:
Iformiga = m R^2
Como são duas formigas, o momento de inércia total das formigas é:
Iformigas inicial = 2m R^2
Portanto, o momento de inércia total inicial ( I0) do sistema é a soma do momento de inércia do disco e das formigas:
I0 = Idisco + Iformigas inicial = 12 M R^2 + 2m R^2

Passo 3

As formigas caminham até metade da distância ao centro, ou seja, passam de R para R2. Agora, vamos calcular o momento de inércia final das formigas:
Iformiga final = m ( R2 )^2 = m R^24
Para as duas formigas:
Iformigas final = 2 times m R^24 = 12 m R^2
O momento de inércia final ( If) do sistema é:
If = Idisco + Iformigas final = 12 M R^2 + 12 m R^2

Passo 4

Como não há torque externo agindo no sistema, o momento angular é conservado. A conservação do momento angular nos dá:
I0 omega0 = If omegaf
onde omega0 é a velocidade angular inicial e omegaf a final.
Podemos isolar omegaf:
omegaf = I0If omega0

Passo 5

A energia cinética rotacional ( K) é dada por:
K = 12 I omega^2
Calculando a energia cinética inicial ( K0) e final ( Kf):
K0 = 12 I0 omega0^2
Kf = 12 If omegaf^2 = 12 If ( I0If omega0 )^2 = 12 I0^2If omega0^2
Agora, a razão entre a energia cinética final e a inicial é:
KfK0 = 12 I0^2If omega0^212 I0 omega0^2 = I0If

Resposta

A razão entre a energia cinética final e a inicial do sistema é:
KfK0 = I0If = 12 times 4,00m times R^2 + 2m times R^212 times 4,00m times R^2 + 12m times R^2 = 2m R^2 + 2m R^22m R^2 + 0,5m R^2 = 4m R^22,5m R^2 = 42,5 = 1,6
Portanto, a razão $ \frac{K_f}{K_0} $ é igual a 1,6.

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