Uma partícula de massa
é lançada de uma altura
com uma velocidade horizontal
. Além do peso
, onde
é a aceleração da gravidade), a partícula sofre a ação de uma força de resistêencia do ar do tipo
, onde
é o vetor velocidade e
é uma constante.
(a) Calcule a dependência temporal da coordenada vertical da partícula,
.
(b) A função
encontrada no ítem (a) possui um termo exponencial com a forma
. Tomando apenas os três primeiros termos na expansão em série desta função exponencial, calcule o tempo necessário para que a partícula atinja o solo. Lembrete:
!.
© Mostre que a partícula nunca alcançará uma distância horizontal (medida a partir do ponto de lançamento) maior que
, mesmo que
.
(a) Calcule a dependência temporal da coordenada vertical da partícula,
(b) A função
© Mostre que a partícula nunca alcançará uma distância horizontal (medida a partir do ponto de lançamento) maior que
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. É um problema de movimento com resistência do ar proporcional à velocidade, dividido em três itens:
(a) Achar a posição vertical de uma partícula que cai sob peso e arrasto
.
(b) Expandir o termo até os três primeiros termos e, com isso, aproximar o tempo que ela leva pra chegar no chão (
).
© Mostrar que a distância horizontal máxima, mesmo com , é
.
(a) Achar a posição vertical
(b) Expandir o termo
© Mostrar que a distância horizontal máxima, mesmo com
Conteúdo vai rolar: equações diferenciais de 1º ordem, fator integrante, integração pra achar
, expansão em série de Taylor de
e integração simples pra
.
Passo 2
Resolvendo (a): achar
.
- Começamos pela segunda lei em
:
.
Divide tudo por:
. - É uma EDO linear 1ª ordem. Usamos fator integrante
.
Multiplicamos a equação por:
.
O lado esquerdo é. - Integramos de
a :
.
Como,
. - Agora obtemos
integrando e usando :
Passo 3
Resolvendo (b): achar
tal que
, usando expansão
.
- Substitui na expressão de
:
. - O colchete vira
, então
.
Simplifica:
.
Os termos lineares emse cancelam, sobrando
. - Logo
.
Passo 4
Resolvendo ©: distância horizontal máxima.
No eixo , a EDO é
Solução clássica:
.
Integra pra achar , com
:
No eixo
Solução clássica:
Integra pra achar
Quando
,
, daí
.
Resposta
(a)
(b) Pela série de até 3 termos, o tempo de queda é
.
© A distância horizontal máxima é
, mesmo para
.
(b) Pela série de
© A distância horizontal máxima é