Uma partícula de massa m é lançada de uma altura h com uma velocidade horizontal v0=v0 x. Além do peso P(=-m g y, onde g é a aceleração da gravidade), a partícula sofre a ação de uma força de resistêencia do ar do tipo F=-m gamma v, onde v é o vetor velocidade e gamma é uma constante.
(a) Calcule a dependência temporal da coordenada vertical da partícula, y(t).
(b) A função y(t) encontrada no ítem (a) possui um termo exponencial com a forma e^-gamma t. Tomando apenas os três primeiros termos na expansão em série desta função exponencial, calcule o tempo necessário para que a partícula atinja o solo. Lembrete: e^u=sumn u^n / n !.
© Mostre que a partícula nunca alcançará uma distância horizontal (medida a partir do ponto de lançamento) maior que v0 / gamma, mesmo que h infty.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. É um problema de movimento com resistência do ar proporcional à velocidade, dividido em três itens:
(a) Achar a posição vertical de uma partícula que cai sob peso e arrasto .
(b) Expandir o termo até os três primeiros termos e, com isso, aproximar o tempo que ela leva pra chegar no chão ( ).
© Mostrar que a distância horizontal máxima, mesmo com , é .
Conteúdo vai rolar: equações diferenciais de 1º ordem, fator integrante, integração pra achar , expansão em série de Taylor de e integração simples pra .

Passo 2

Resolvendo (a): achar .
  1. Começamos pela segunda lei em :
    .
    Divide tudo por :
    .
  2. É uma EDO linear 1ª ordem. Usamos fator integrante .
    Multiplicamos a equação por :
    .
    O lado esquerdo é .
  3. Integramos de a :
    .
    Como ,
    .
  4. Agora obtemos integrando e usando :

Passo 3

Resolvendo (b): achar tal que , usando expansão
.
  1. Substitui na expressão de :
    .
  2. O colchete vira , então
    .
    Simplifica:
    .
    Os termos lineares em se cancelam, sobrando
    .
  3. Logo
    .

Passo 4

Resolvendo ©: distância horizontal máxima.
No eixo x(t)=integral0^t v0 e^-gamma t',dt' =v0gammal(1 - e^-gamma tr) , a EDO é

Solução clássica:
.
Integra pra achar , com :
Quando , , daí
.

Resposta

(a)
(b) Pela série de até 3 termos, o tempo de queda é
.
© A distância horizontal máxima é
, mesmo para .

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