Calcule o potencial associado às seguintes forças conservativas:
F=x^2 x+z^2 cos (y) y+2 z sen(y) z

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz assim: “Calcule o potencial associado à força conservativa

Isso cai no conteúdo de cálculo vetorial, mais precisamente em como achar uma função potencial F=x^2,x+z^2cos(y),y+2,z,sen(y),z quando a força vec F = -nabla V, é conservativa. Pra resolver, a gente vai usar a relação
Fx = -partial Vpartial x, Fy = -partial Vpartial y, Fz = -partial Vpartial z
ou seja,

A partir daí é só integrar passo a passo.

Passo 2

Começando pela componente Fx = x^2 = -partial Vpartial x Longrightarrow partial Vpartial x = -x^2 :
V(x,y,z) = integral -x^2,dx = -x^33 + g(y,z),
Integramos em relação a :
onde é uma “constante” de integração que pode depender de e .

Passo 3

Agora a componente Fy = z^2cos(y) = -partial Vpartial y Longrightarrow partial Vpartial y = -z^2cos(y) :
V = -x^33 + g(y,z),
Como já temos
partial Vpartial y = partial g(y,z)partial y stackrel!=-z^2cos(y)
é só derivar isso em g(y,z) = integral -z^2cos(y),dy = -z^2sen(y) + h(z), :
Integrando em :
onde é outra “constante” de integração, agora só em função de .

Passo 4

Falta checar a componente Fz = 2,z,sen(y) = -partial Vpartial z :
Nossa expressão atual para V = -x^33 - z^2sen(y) + h(z) é
Vamos ver a derivada em partial Vpartial z = -2,z,sen(y) + h'(z) stackrel!= -2,z,sen(y) :
Para isso bater, precisamos que , isto é, é só uma constante .

Resposta

Logo, uma função potencial é

Exercícios relacionados