Calcule o potencial associado às seguintes forças conservativas:
F=sen(x) x-2 y sen(z) y-y^2 cos (z) z

Passo 1

O enunciado diz que temos um campo de força
e que ele é conservativo. Isso quer dizer que existe uma função escalar vec F = sen(x),hat x ;-; 2y,sen(z),hat y ;-; y^2cos(z),hat z (potencial) tal que
vec F = -nabla V
Estamos na parte de campos vetoriais e potenciais, e para resolver vamos usar derivadas parciais e o conceito de gradiente.

Passo 2

Começamos pela componente Fx = sen(x), . Se
então pela definição de potencial temos
Integramos em Fx = -partial Vpartial x Longrightarrow partial Vpartial x = -sen(x) , tratando V(x,y,z) = integral -sen(x),dx = cos(x) + h(y,z), e como constantes:
onde é uma “função de integração” que ainda depende de e .

Passo 3

Agora a componente Fy = -2y,sen(z) Longrightarrow partial Vpartial y = -Fy = 2y,sen(z) :
Mas de partial Vpartial y = partialpartial yl[cos(x)r] + partial hpartial y = 0 + partial hpartial y a derivada em relação a partial hpartial y = 2y,sen(z) é
h(y,z) = integral 2y,sen(z),dy = y^2,sen(z) + g(z),
Logo
Integramos em :
sendo outra função de integração (só de ).

Passo 4

Por fim, a componente Fz = -y^2cos(z) Longrightarrow partial Vpartial z = -Fz = y^2cos(z) :
V(x,y,z) = cos(x) + y^2,sen(z) + g(z),
Agora, de
temos
Comparando com partial Vpartial z = partialpartial z[cos(x)] + partialpartial z[y^2,sen(z)] + g'(z) = 0 + y^2cos(z) + g'(z) , vemos que
y^2cos(z) + g'(z) = y^2cos(z) Longrightarrow g'(z) = 0
ou seja, é constante.

Resposta

Um potencial que gera boxedV(x,y,z) = cos(x) ;+; y^2,sen(z);+; C é, até uma constante arbitrária,

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