Verifique se as forças abaixo são conservativas ou não:
F=x^2 x+z^2 cos (y) y+2 z sen(y) z

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente ver se o campo de forças
F=x^2,x+z^2cos(y),y+2,zsin(y),z
é conservativo ou não. Isso faz parte de Cálculo Vetorial, e o que precisamos usar é a ideia de “campo conservativo” estar associado a ter rotacional (curl) nulo em um domínio simplesmente conexo. Ou seja, vamos calcular
nablatimesF
e ver se ele é zero.

Passo 2

O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por
nablatimesF = x & y & z partial/partial x & partial/partial y & partial/partial z Fx & Fy & Fz
No nosso caso,
Fx = x^2, Fy = z^2cos(y), Fz = 2,zsin(y)
Então a gente vai calcular componente a componente.

Passo 3

Componente em x:
l(nablatimesFr)x = partial Fzpartial y-partial Fypartial z
- partial Fz/partial y = partial,(2zsin y)/partial y = 2zcos y.
- partial Fy/partial z = partial,(z^2cos y)/partial z = 2zcos y.
Logo
(nablatimes F)x = 2zcos y - 2zcos y = 0

Passo 4

Componente em y:
l(nablatimesFr)y = partial Fxpartial z-partial Fzpartial x
- partial Fx/partial z = partial,(x^2)/partial z = 0.
- partial Fz/partial x = partial,(2zsin y)/partial x = 0.
Então
(nablatimes F)y = 0 - 0 = 0

Passo 5

Componente em z:
l(nablatimesFr)z = partial Fypartial x-partial Fxpartial y
- partial Fy/partial x = partial,(z^2cos y)/partial x = 0.
- partial Fx/partial y = partial,(x^2)/partial y = 0.
Logo
(nablatimes F)z = 0 - 0 = 0

Resposta

Como todas as componentes do rotacional deram zero, temos
nablatimesF=0
e, assumindo um domínio simplesmente conexo, concluímos que F é um campo conservativo.

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