Calcule o potencial associado às seguintes forças conservativas:
F=e^x x+sen(y+z)(y+z)

Passo 1

Beleza, quer achar o potencial escalar vec F = e^x,hat x + sen(y+z),(hat y + hat z) associado à força conservativa
Isso cai em cálculo vetorial:
  • Precisamos verificar que a força é conservativa (curl zero).
  • Em seguida, usar a definição e integrar componente a componente.

Passo 2

Verificação de conservatividade (curl = 0):
  • Componente nabla times vec F = hat x & hat y & hat z partialx & partialy & partialz e^x & sen(y+z) & sen(y+z) :
  • Componente :
  • Componente :
    Como tudo dá zero, a força é mesmo conservativa.

Passo 3

Agora, pela definição de potencial em mecânica,
vec F = -nabla U Longrightarrow partial Upartial x = -Fx,; partial Upartial y = -Fy,; partial Upartial z = -Fz
Então começamos integrando em partial Upartial x = -e^x ;Longrightarrow; U(x,y,z) = integral -e^x,dx = -e^x + g(y,z), :
onde é uma “função de integração” que pode depender de .

Passo 4

Agora usamos a parte em partial Upartial y = partialpartial yl(-e^x + g(y,z)r) = gy(y,z) stackrel!=-Fy = -sen(y+z) :
Logo
com gy(y,z) = -sen(y+z) ;Longrightarrow; g(y,z) = integral -sen(y+z),dy = cos(y+z) + h(z), outra “função de integração”.

Passo 5

Por fim, usamos a parte em partial Upartial z = partialpartial zl(-e^x + cos(y+z)+h(z)r) = -sen(y+z) + h'(z) stackrel!=-Fz = -sen(y+z) :
Daí , ou seja é constante.

Resposta

O potencial associado é
boxed,U(x,y,z) = -e^x + cos(y+z) + C,,
onde é uma constante arbitrária.

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